Mathe für Nicht-Freaks: Komplexen Zahlen: Definition

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Wir werden hier die komplexen Zahlen $ℂ$ formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.

Herleitung für die formale Definition komplexer Zahlen

Herleitung der Tupelschreibweise

Komplexe Zahlen haben die Form $a+b\mathrm{i}$, wobei $a,b$ reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ die Gleichung ${\mathrm{i}}^2=-1$ erfüllt. Jedoch fehlt uns eine formale Definition für diese neue Zahlenform. Diese wollen wir nun herleiten.

Eine komplexe Zahl $a+b\mathrm{i}$ wird durch die zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ beschrieben. Außerdem kann man komplexe Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen. $a$ ist dabei die $x$-Koordinate des Punktes und der imaginäre Anteil $b$ gibt die $y$-Koordinate wieder:

Komplexe Zahlen sind Punkte auf der Ebene

Nun können Punkte der Ebene als Tupel $(a,b)$ der Menge $ℝ\times ℝ={ℝ}^2$ beschrieben werden. Wir können also einem Tupel $(a,b)$ in $ℝ\times ℝ$ die komplexe Zahl $a+b\mathrm{i}$ zuordnen. Es soll also $(a,b)\widehat{=}a+b\mathrm{i}$ sein. Dadurch identifizieren wir die komplexe Zahlenmenge $ℂ$ mit der Ebene $ℝ\times ℝ$.

Da Tupel ein exakt definiertes mathematische Konzept ist, können wir diese für die formale Definition der komplexen Zahlen hernehmen. Hierzu sagen wir, dass komplexe Zahlen $a+b\mathrm{i}$ Tupel $(a,b)$ sind. Für diese müssen wir zusätzlich noch definieren, wie wir diese addieren und multiplizieren können.

Herleitung der Rechenregeln

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition in der Ebene.

Wir wollen mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen können. Hierzu müssen wir definieren, wie komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden können. Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen $a+b\mathrm{i}$ und $c+d\mathrm{i}$. Das Ergebnis soll wieder eine komplexe Zahl, d.h. von der Form $x+y\mathrm{i}$, sein. Hierfür addieren wir die beiden komplexen Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern $\mathrm{i}$aus:

Das Ergebnis ist wieder von der Form $x+y\mathrm{i}$. Dabei werden jeweils die reellen und die imaginären Anteile summiert. Zur formalen Definition der Addition nutzen wir die Tupelschreibweise $(a,b)\in ℝ\times ℝ$. Dort gilt die Identifizierung $(a,b)\widehat{=}a+b\mathrm{i}$. Damit übersetzen wir obige Rechnung in die Tupelschreibweise:

Wir sehen, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in $ℝ\times ℝ$ ist. Das ist genau die Vektoraddition in der Ebene $ℝ\times ℝ$. Die Multiplikation komplexer Zahlen ist umständlicher. Wir betrachten hierzu das Produkt von zwei komplexen Zahlen $a+b\mathrm{i}$ und $c+d\mathrm{i}$ und multiplizieren diese aus:

Diese Rechnung übersetzen wir in unsere Tupelschreibweise:

Formale Definition der komplexen Zahlen

Definition der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in $ℝ\times ℝ$ mit der passenden Addition und Multiplikation.

Definition von Real- und Imaginärteil

Eine komplexe Zahl $z=(a,b)$, kann als Punkt in der Ebene beschrieben werden. Dieser ist eindeutig über seine Koordinaten $a$ und $b$ definiert. Diese Koordinaten haben spezielle Namen. $a$ ist der Realteil und $b$ der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper Vorlage:Anker

Wir können mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen. Die Addition entspricht dabei der Vektoraddition in $ℝ\times ℝ$. Damit erbt sie alle Eigenschaften der Addition in einem Vektorraum und erfüllt so beispielsweise das Assoziativgesetz $(z+w)+u=z+(w+u)$ und das Kommutativgesetz $z+w=w+z$. Auch die Multiplikation in den komplexen Zahlen hat ähnliche Eigenschaften wie die Multiplikation in den reellen Zahlen.

Wie auch in den reellen Zahlen können wir in $ℂ$ Brüche der Form $\frac{w}{z}$ bilden. Hierzu müssen wir zu einer komplexen Zahl $z=(a,b)$ ihre Reziprokes $z^{-1}=(c,d)$ bilden. Diese reziproke Zahl muss die Gleichung $z\cdot z^{-1}=1$ erfüllen. Wir müssen also $(c,d)$ so wählen, dass $(1,0)=(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ist. Wir werden sehen, dass dieses Gleichungssystem für alle $(a,b)\in ℂ\setminus \{0\}$ eindeutig lösbar ist.

Insgesamt erfüllen die Addition und die Multiplikation die sogenannten Körperaxiome, die auch die reellen Zahlen erfüllen. Damit ist das Rechnen in $ℂ$ ähnlich zu dem, was uns vom Rechnen mit reellen Zahlen bekannt ist.

$ℝ$ als Unterkörper von $ℂ$

Wir identifizieren die komplexen Zahlen $ℂ$ mit der Ebene $ℝ\times ℝ$. Dabei ist die in der komplexen Ebene liegende $x$-Achse die reelle Zahlengerade. So ergibt es Sinn, dass die reellen Zahlen $ℝ$ eine Teilmenge der komplexen Zahlen $ℂ$ sind.

Außerdem wissen wir, dass sowohl $ℝ$ als auch $ℂ$ Körper sind. Es ist sinnvoll, wenn $ℝ$ ein Unterkörper von $ℂ$ ist. Dafür müssen wir mehr zeigen, als dass $ℝ$ eine Teilmenge von $ℂ$ ist. Wir müssen zusätzlich beweisen, dass die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen in $ℂ$ erhalten bleibt. Wir wollen also zwei Aussagen zeigen: $ℝ$ ist eine Teilmenge von $ℂ$ und die Rechenoperationen aus den reellen Zahlen bleiben in $ℂ$ erhalten.

Betrachten wir zunächst die erste Aussage: $ℝ$ ist Teilmenge $ℂ$. Diese stimmt nicht direkt, da dies bedeuten würde, dass für alle $x\in ℝ$ auch $x\in ℂ$ gilt. Nun ist $ℂ=ℝ\times ℝ=\{(a,b)|a,b\in ℝ\}$ eine Menge von Tupeln reller Zahlen, womit die Elemente von $ℝ$ und von $ℂ$ verschieden sind.

Dies ist kein großes Problem. Wir können nämlich die reellen Zahlen mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren, die sich ähnlich wie $ℝ$ verhält. Um diese Teilmenge zu finden, nutzen wir die Anschauung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die Teilmenge, die wir suchen, ist in unserer Anschauung die reelle Achse in der komplexen Ebene. Eine komplexe Zahl $z=(a,b)\in ℂ$ liegt genau dann auf dieser Achse, wenn ihr Imaginärteil gleich Null ist, wenn $b=0$ ist. Die reelle Achse ist somit die Menge $\{(a,0)|a\in ℝ\}=ℝ\times \{0\}\subseteq ℂ$.

Wir wollen zeigen, dass wir $ℝ\times \{0\}$ mit den reellen Zahlen identifizieren können. Dafür brauchen wir eine eins-zu-eins-Beziehung (bijektive Abbildung) von $ℝ$ zu $ℝ\times \{0\}$. Genauso gut können wir eine injektive Abbildung $\iota :ℝ\to ℂ$ mit Bild $\iota (ℝ)=ℝ\times \{0\}$ definieren. Dann bildet $\iota$ die reellen Zahlen bijektiv auf $ℝ\times \{0\}$ ab.

Aber das reicht uns noch nicht. Wir wollen zusätzlich, dass $ℝ\times \{0\}$ die gleiche Struktur wie die reellen Zahlen hat. Unsere Abbildung $\iota$ soll die Struktur von $ℝ$ in der Abbildung erhalten. Das bedeutet, Summen in $ℝ$ sollen von $\iota$ auf Summen in $ℂ$ abgebildet werden und genauso mit Produkten. Auch sollen die neutralen Elemente $0$ und $1$ aus den reellen Zahlen auf die entsprechenden neutralen Elemente in den komplexen Zahlen abgebildet werden. Eine Abbildung mit solchen Eigenschaften heißt Körperhomomorphismus.

Wie sollen wir $\iota$ wählen? Betrachten wir wieder unsere Anschauung der komplexen Ebene. Wir wollen die reelle Zahlengerade $ℝ$ auf die reelle Achse $ℝ\times \{0\}$ abbilden. Am einfachsten geht das, wenn wir den Zahlenstrahl in die zweidimensionale Ebene einbetten. Also eine reelle Zahl $a\in ℝ$ nach $(a,0)\in ℝ\times \{0\}$ schicken:

Es bleibt zu zeigen, dass unsere Abbildung die Eigenschaften eines injektiven Körperhomomorphismus erfüllt. Ein solcher injektiver Körperhomohorphismus wird Körpermonomorphismus genannt:

Durch die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus bleibt die Struktur eines Körpers im Bild der Abbildung erhalten. Einfach gesagt erfüllt das Bild des Körpermonomorphismus die Körperaxiome und definiert somit wieder einen Körper. Da das Bild der Abbildung $\iota$ eine Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen ist, können wir das Bild $\iota (ℝ)$ als Unterkörper von $ℂ$ auffassen. Ferner ist durch die Abbildung $\iota :ℝ\to \mathrm{Bild}(\iota )$ ein Körperisomorphismus, d.h. ein bijektiver Körperhomomorphismus zwischen dem Körper $ℝ$ und dem Körper $\mathrm{Bild}(\iota )$ gegeben. Dies rechtfertigt die Bezeichnung $ℝ\subseteq ℂ$ und wir übersetzen fortan alle reellen Zahlen $a\in ℝ$ in die komplexe Zahl $a:=\iota (a)$.

Definition der Schreibweise $a+b\mathrm{i}$

Eine komplexe Zahl, die wir als $a+b\mathrm{i}$ schreiben möchten, ist nach unserer formalen Definition mit $ℂ=ℝ\times ℝ$ das Tupel $(a,b)$. Um Rechnungen zu vereinfachen, möchten wir die Schreibweise $a+b\mathrm{i}$ ohne Tupel einführen. Hierzu müssen wir $\mathrm{i}$ formal definieren. Da $\mathrm{i}$ in der komplexen Ebene auf der $y$-Achse bei der Zahl $1$ liegt, wählen wir $\mathrm{i}:=(0,1)$:

Anfangs haben wir die Lösung der Gleichung $x^2=-1$ gesucht und mit $\mathrm{i}$ eine dieser Lösungen gefunden. Deshalb rechnen wir nach, dass in der Tat ${\mathrm{i}}^2=-1$ für $\mathrm{i}=(0,1)$ erfüllt ist:

Wir haben dabei die Einbettung $\iota$ der reellen Zahlen in $ℂ$ und die Schreibweise $a=\iota (a)$ für $a\in ℝ$ benutzt. Es gilt also wirklich ${\mathrm{i}}^2=-1$. Nun zeigen wir, dass wir unsere Schreibweise $a+b\mathrm{i}$ für $(a,b)$ verwenden dürfen. Unter Verwendung von $c:=\iota (c)=(c,0)$ für $c\in ℝ$ zeigen wir $(a,b)=a+b\mathrm{i}$. Dank diesem Beweis können anschließend mit den komplexen Zahlen $a+b\mathrm{i}$ so rechnen, wie wir es wollen:

$ℂ$ ist kein geordneter Körper Vorlage:Anker

Es wäre angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können. Sprich: eine Größer/Kleiner-Relation für komplexe Zahlen einzuführen. Betrachten wir die Zahlen $1$ und $\mathrm{i}$. Wir stellen fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand $1$ besitzen:

Einheitskreis in der komplexen Ebene mit 1 und i

Ist nun $1<\mathrm{i}$, $1=\mathrm{i}$ oder $1>\mathrm{i}$? Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn beiden Zahlen haben den gleichen Betrag. Wie sieht es mit $1$ und $-2\mathrm{i}$ aus? Die Zahl $-2\mathrm{i}$ ist weiter von der Null entfernt als die Zahl $1$. Gilt dann auch $-2\mathrm{i}>1$? Kann das Produkt einer negativen Zahl mit der imaginären Einheit wirklich größer als eine positive Zahl sein?

An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass die Anordnung der komplexen Zahlen schwierig ist. Tatsächlich ist dies nicht möglich. Dies beweist der folgende Satz:

$ℂ$ ist algebraisch abgeschlossen

Wir haben mit $ℂ$ einen Körper konstruiert, in dem die Gleichung $x^2=-1$ lösbar ist bzw. das Polynom $x^2+1$ eine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen $ℂ$ gilt sogar wesentlich mehr: Jedes Polynom (mit Koeffizienten in $ℂ$) vom Grad größer gleich $1$ besitzt mindestens eine Nullstelle. Dies schließt nur konstante Polynome aus, die natürlich (bis auf das Nullpolynom) keine Nullstellen besitzen. Diese Eigenschaft gilt in den reellen Zahlen nicht. So besitzt $x^2+1$ keine reellen Nullstellen.

Diese Eigenschaft der komplexen Zahlen heißt algebraische Abgeschlossenheit und wird in der Algebra behandelt. Die algebraische Abgeschlossenheit von $ℂ$ wird in einem Satz mit dem gewichtig klingenden Namen Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.

Übungsaufgaben

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