Mathe für Nicht-Freaks: Die Logarithmusfunktion

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Definition

Wir haben bereits gezeigt, dass die Exponentialfunktion $\exp :ℝ\to {ℝ}^{+},x\mapsto \exp (x)$ bijektiv ist. Wir definieren nun die Logarithmusfunktion $\ln :{ℝ}^{+}\to ℝ$ als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Vorlage:Todo

Eigenschaften

Bijektivität, Monotonie und Stetigkeit

Nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion ebenfalls bijektiv, streng monoton steigend und stetig.

Der Logarithmus und die harmonische Reihe

Asymptotisches Wachstum der harmonischen Reihe

Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus

Wir im Kapitel über die harmonische Reihe schon gesehen, dass die Partialsummen dieser Reihe ähnlich wie der natürlichen Logarithmus $\ln$ anwachsen. Tatsächlich gilt

Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe

Mit Hilfe der Folge ${(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)}_{n\in \mathbb{N}}$ können wir zeigen

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