Mathe für Nicht-Freaks: Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Die Hyperbolischen Funktionen - Kosinus Hyperbolikus, Sinus Hyperbolikus und Tangens Hyperbolikus

Eigenschaften der Hyperbolischen Funktionen

Symmetrie

Der Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also: Vorlage:Einrücken Man sagt auch $\cosh$ ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade.

Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis

Ableitungen

Mit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen. Vorlage:Einrücken Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.

Beziehung zwischen den Hyperbolischen Funktionen

Analog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von $\sinh$ und $\cosh$. Der Unterschied liegt im Vorzeichen. Vorlage:Einrücken

Asymptotik

Im Grenzwert $x\to \pm \mathrm{\infty }$ divergieren $\cosh$ und $\sinh$. Um zu bestimmen ob der Grenzwert $\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$ ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.

Da $\sinh (ix)=\sin (x)$ und $\cosh (ix)=\cos (x)$ bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.

Additionstheoreme

Der Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen.

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