Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und lokale Extrema

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In diesem Kapitel werden wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Kriterien für die Existenz von Extrema herleiten. In der Schule wird häufig der Satz verwendet, dass eine Funktion $f:D\to ℝ$ notwendigerweise $f^{\prime }(\tilde{x})=0$ erfüllen muss, damit $f$ in $\tilde{x}\in D$ ein (lokales) Extremum hat. Wechselt die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ in $\tilde{x}$ zusätzlich noch das Vorzeichen, so folgt aus dieser Bedingung die Existenz eines Extremums. Der Vorzeichenwechsel der Ableitung ist damit ein hinreichendes Kriterium für das Extremum. Diese und weitere Folgerungen werden wir nun herleiten, und an Hand zahlreicher Beispiele veranschaulichen. Zunächst werden wir jedoch sauber definieren, welche Art von Extrema es gibt.

Typen von Extrema

Eine Funktion $f:D\to ℝ$ kann zunächst einmal zwei Typen eines Extremums haben: Ein Maximum oder ein Minimum. Dieses kann wiederum lokal oder global sein. Wie die Bezeichnungen schon vermuten lassen, ist ein lokales Minimum beispielsweise ein Wert $f(\tilde{x})$, der „lokal minimal“ ist. In einer Umgebung von $\tilde{x}$ gilt also $f\ge f(\tilde{x})$. Sprich: Es gibt ein Intervall $(\tilde{x}-ϵ,\tilde{x}+ϵ)$ um $\tilde{x}$, so dass $f(x)\ge f(\tilde{x})$ für alle Argumente $x$ gilt, die in $(\tilde{x}-ϵ,\tilde{x}+ϵ)$ liegen. Ein globales Maximum hingegen ist ein Wert $f(\hat{x})$, der „global maximal“ ist. Das heißt, für alle Argumente $x$ aus dem gesamten Definitionsbereich muss $f(x)\le f(\hat{x})$ gelten. Diese intuitive Vorstellung ist in folgender Skizze veranschaulicht:

Charakterisierung lokaler und globaler Extrema

Bei lokalen Extrema wird außerdem noch zwischen strikten und nicht strikten unterschieden. Ein striktes lokales Minimum beispielsweise ist eines, das lokal nur „strikt“ in einem Punkt angenommen wird. Ein nicht striktes Extremum kann auf einem ganzen Teilintervall angenommen werden.

Charakterisierung strikter lokaler Extrema

Die intuitiv erklärten Begriffe definieren wir nun formal:

Ein lokales Maximum/Minimum wird in der Literatur auch gelegentlich als relatives Maximum/Minimum, und ein striktes Maximum/Minimum als isoliertes Maximum/Minimum bezeichnet. Mit der Definition ist außerdem klar, dass jedes globale Extremum auch ein lokales ist. Ebenso ist jedes strikte lokale Extremum auch eines im gewöhnlichen Sinne. Im Folgenden wollen wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Bedingungen für (strikte) lokale Extrema bestimmen. Zur Charakterisierung globaler Extrema reichen unsere Kriterien leider nicht aus.

Notwendige Bedingung für Extrema

Satz und Beweis

Damit eine Funktion an einer Stelle im Inneren Ihres Definitionsbereichs ein lokales Extremum haben kann, muss die Funktion dort eine waagrechte Tangente besitzen. Das heißt, die Ableitung an dieser Stelle muss gleich Null sein. Genau dies besagt der folgende Satz:

Anwendung: Zwischenwerteigenschaft für Ableitungen

Wir haben in den vergangenen Abschnitten bereits festgestellt, dass die Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion nicht zwingend stetig sein muss. Ein Beispiel hierfür ist folgende Funktion, die wir im Kapitel „Ableitung höherer Ordnung“ kennen gelernt haben:

Allerdings kann man zeigen, dass die Ableitungsfunktion immer die Zwischenwerteigenschaft erfüllt. Dass dies kein Widerspruch ist, liegt daran, dass die Stetigkeit eine stärkere Eigenschaft als die Zwischenwerteigenschaft ist. Zum Beweis werden wir unser notwendiges Kriterium aus dem vorangegangenen Satz verwenden. Dieses Resultat ist in der Literatur auch als „Satz von Darboux“ bekannt:

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel der Ableitung

Satz

Bei vielen Funktionen ist es sehr mühsam, nur mit der notwendigen Bedingung $f^{\prime }(\tilde{x})=0$ festzustellen, ob $f$ in $\tilde{x}$ ein Extremum hat. Daher suchen wir nun hinreichende Bedingungen dafür. Eine Möglichkeit ist, die Umgebung der möglichen Extremstelle $\tilde{x}$ zu untersuchen. Wenn die Funktion links von $\tilde{x}$ steigt und rechts fällt, gibt es ein Maximum. Wenn die Funktion erst fällt und dann steigt gibt es ein Minimum.

Bedingungen sind nicht notwendig

Die Bedingung im vorherigen Satz ist eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle. Es ist jedoch keine notwendige Bedingung. Es gilt also nicht, dass eine Extremstelle genau dann vorliegt, wenn eine der Bedingungen im vorherigen Satz erfüllt ist. Das zeigen wir mit dem folgenden Beispiel.

Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der zweiten Ableitung

Satz

Ist $f$ zweimal differenzierbar, so können wir auch das folgende hinreichende Kriterium verwenden:

Erweitertes hinreichendes Kriteriums

Das Problem bei Funktionen wie $f(x)=x^4$ ist, dass $f^{″}(0)=12\cdot 0^2=0$ ist und somit die zweite Ableitung verschwindet. Wir können dann nicht mit Hilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob und welche Art eines Extremas vorliegt. Leiten wir $f$ nun zwei weitere Male ab, so erhalten wir $f^{(4)}(0)=24>0$. Die Frage ist nun, ob wir daraus, analog zum zweiten Kriterium, folgern können, dass $f$ in $\tilde{x}=0$ ein striktes lokales Minimum hat?

Die Antwort ist „ja“ – jedoch müssen wir etwas beachten: Betrachten wir hierzu das Beispiel $g(x)=x^3$. Dieses hat, im Gegensatz zu $f$ in $\tilde{x}=0$ kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt. Und dies obwohl für die dritte Ableitung ebenfalls $g^{(3)}(0)=6>0$ gilt. Der Unterschied ist, dass hier die Ordnung der ersten Ableitung, die ungleich Null ist, gleich $3$ und damit ungerade ist. Bei $f(x)=x^4$ war sie hingegen $4$, also gerade. Berücksichtigen wir dies, so können wir folgendes Kriterium herleiten:

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