Mathe für Nicht-Freaks: Folgenräume

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Der Folgenraum ist ein Vektorraum, der aus unendlich langen Tupeln $(x_1,x_2,x_3,\dots )$ besteht. Die Verknüpfungen im Folgenraum sind komponentenweise Addition und skalare Multiplikation.

Motivation

Wir haben bereits den Koordinatenraum $K^n$ für einen Körper $K$ als Beispiel für Vektorräume kennengelernt. Dort besteht jedes Element aus $n$ verschiedenen, also endlich vielen, Einträgen aus $K$. Zum Beispiel ist $(1,4,2,-1)$ ein Element von ${ℝ}^4$. Wir können auch unendlich lange Tupel betrachten. Beispielsweise ist $(1,4,9,16,\dots )=(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$ so ein „unendliches Tupel“. Eine bessere Bezeichnung für unendliche Tupel ist „Folge“. Ist $K$ der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, so sind dies genau die bereits aus der Analysis bekannten Folgen.

Wie definieren wir die Vektorraum-Operationen auf den Folgen? Auf dem $K^n$ haben wir die Operationen komponentenweise definiert. Wir wissen bereits, dass wir auch Folgen komponentenweise addieren und skalieren können. Deshalb können wir auch auf unendlichen Folgen über beliebigen Körpern eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren. Dies führt uns zu der Vermutung, dass die Menge aller Folgen mit Einträgen in $K$ einen Vektorraum bilden sollte. Wir nennen ihn den Folgenraum über $K$.

Wir werden den Folgenraum zunächst präzise definieren und dann beweisen, dass es sich dabei tatsächlich um einen Vektorraum handelt. Im Abschnitt Unterräume des Folgenraums betrachten wir dann Beispiele von Unterräumen der Folgenräume über den reellen und komplexen Zahlen, die wichtig für die Analysis sind.

Notation

Sei $K$ ein Körper.

Wir schreiben in diesem Artikel wegen der besseren Lesbarkeit immer $(x_i{)}_i$ anstatt $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ für Folgen mit Einträgen in $K$.

Definition des Folgenraums

Analog zum Koordinatenraum können wir auch auf $\omega$ eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren:

Unterräume des Folgenraums

Der Folgenraum besitzt einige häufig verwendete Unterräume. Die meisten dieser Unterräume lassen sich nur über den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ definieren. Sie besitzen viele Anwendungen in der Funktionalanalysis und sind dort Teil einer wichtigen Klasse an Beispielen. Im Bereich der linearen Algebra über beliebigen Körpern dient der Raum der Folgen mit endlichem Träger an vielen Stellen als Beispiel. Er ist das einfachste Beispiel für einen unendlich-dimensionalen Vektorraum und kann damit gut als Beispiel herangezogen werden, wenn es darum geht, Aussagen für „zu große“ Vektorräume zu widerlegen.

Der Unterraum der Folgen mit endlichem Träger Vorlage:Anker

Die Notation $c_{00}$ für den Raum der Folgen mit endlichem Träger kann man sich beispielsweise so herleiten: Dieser Vektorraum ist über $ℝ$ und $ℂ$ ein Unterraum des Raumes der Nullfolgen. Letztere bezeichnet man üblicherweise mit $c_0$. Das $c$ steht dabei für Konvergenz (englisch „convergence“) und die $0$ dafür, dass wir von den konvergenten Folgen nur Nullfolgen in den Vektorraum packen. Wenn man über Konvergenz spricht, ist die Bedingung, dass die Folge irgendwann $0$ wird, natürlich bedeutend stärker, als die Bedingung gegen $0$ zu konvergieren. Daher bekommt der Raum der Folgen mit endlichem Träger noch eine weitere Null spendiert.

Unterräume aus der Analysis

Im Folgenden sei $K\in \{ℝ,ℂ\}$.

Beziehungen zwischen den Unterräumen

Wir haben nun für $K\in \{ℝ,ℂ\}$ einige Unterräume des Folgenraums kennengelernt. Das wirft die Frage auf, welche Beziehungen zwischen diesen bestehen. Bei den meisten Bedingungen, die wir benutzt haben, um die Unterräume zu konstruieren, handelt es sich um Bedingungen aus der Analysis. Glücklicherweise gibt es in der Analysis bereits Resultate, die Implikationen zwischen den einzelnen Bedingungen beschreiben. Wenn wir diese Implikationen in die Welt von Mengen und Vektorräumen übersetzen, erhalten wir das folgende Resultat:

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