Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Sinussatz

Sinussatz

In jedem Dreieck gilt:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Beweis:

(1a)  $\frac{h_c}{b}=\sin \alpha$

(2a)  $h_c=b\cdot \sin \alpha$

und

(1b)  $\frac{h_c}{a}=\sin \beta$

(2b)   $h_c=a\cdot \sin \beta$

(2a) und (2b) gleich gesetzt

(3)   $b\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$

oder

(4a)   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

analog gilt damit der Sinussatz für alle drei Seiten und Winkel

(4b)   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

oder auch

(5)   $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$

1. Ergänzung:

Diese Ergänzung gehört zwar nicht direkt zum Sinussatz, aber:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

wobei $R$ der Radius des Umkreises des Dreiecks ist.

1. Beweis:

(2.1) $\frac{c}{2R}=\sin \frac{\phi }{2}$

weil der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel ist (hier $\frac{\phi }{2}=\gamma$) ist auch

(2.2)  $\frac{c}{2R}=\sin \gamma$

oder

(2.3)   $\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

also ist analog auch

(2.4)   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

2. Beweis

Weil alle Umfangswinkel über einer Sehne (hier $\overline{AB}$) gleich groß sind ist

(3.1)   ${\gamma }_1=\gamma$

Nach dem Satz des Thales ist der Umgangswinkel über einer Sehne die der Durchmesser ist (hier $\overline{BD}$) ein rechter Winkel.

(3.2)   $\phi =90^0$

(3.3)   $\overline{BD}=2R$

(3.4)   $\sin {\gamma }_1=\frac{c}{2R}=\sin \gamma$

umgewandelt

(3.5)   $\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

also ist analog auch

(3.6)   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

2. Ergänzung:

Diese Ergänzung gehört zwar auch nicht direkt zum Sinussatz, aber mit $A$ als Dreiecksfläche ist:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{abc}{2A}$

Daraus mit (3.6)

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R=\frac{abc}{2A}$

Beweis:

Die Dreiecksfläche ist nach der ersten Skizze

(4.1)   $A=\frac{c\cdot h_c}{2}$

weiter ist

(4.2)   $h_c=b\cdot \sin \alpha$

nach (3.6) ist

(4.3)   $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$

(4.4)   $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$

in (4.2) eingesetzt

(4.5)   $h_c=\frac{b\cdot a}{2R}$

in (4.1) eingesetzt

(4.6)   $A=\frac{c\cdot b\cdot a}{2\cdot 2R}$

oder

(4.7)   $A=\frac{abc}{4R}$

umgewandelt

(4.8)   $2R=\frac{abc}{2A}$

und damit

(4.9)   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R=\frac{abc}{2A}$

Wikipedia-Verweise

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