Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz

Seien $a,b\in ℝ$ mit $a<b$ und $f:[a,b]\to ℝ$ stetig. Sei $F:[a,b]\to ℝ$ stetig differenzierbar mit der Ableitung $F^{\prime }=f$. Dann gilt für das Riemann-Integral

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Beweis

Seien $x\in [a,b]$ und $G:[a,b]\to ℝ;x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(y)\mathrm{d}y$. Sei $h\in ℝ$ mit $h\ne 0$ und $x+h\in [a,b]$ und definiere $m_h:=\min \{f(y);|y-x|\le h,y\in [a,b]\}$, $M_h:=\max \{f(y);|y-x|\le h,y\in [a,b]\}$. Dann gilt nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

$G(x+h)-G(x)=\underset{a}{\overset{x+h}{\int }}f(y)\mathrm{d}y-\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(y)\mathrm{d}y=\underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f(y)\mathrm{d}y$.

Wegen

$m_h\le \frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f(y)\mathrm{d}y\le M_h$

gilt

$m_h\le \frac{G(x+h)-G(x)}{h}\le M_h$.

Da $f$ stetig ist, existiert nach dem $ϵ-\delta$-Kriterium nun für jedes $ϵ\in ℝ$ mit $ϵ>0$ ein $\delta \in ℝ$ mit $\delta >0$ mit $|f(y)-f(x)|<ϵ$ für alle $y\in [a,b]$ mit $|y-x|<\delta$. Mit anderen Worten existiert für jedes $ϵ>0$ ein $h>0$ mit $M_h-m_h<ϵ$. Damit ist $G$ am Punkt $x$ differenzierbar mit

$G^{\prime }(x)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{h\to 0}{x+h\in [a,b]}}{\lim }\frac{G(x+h)-G(x)}{h}=f(x)$.

Damit ist $G$ eine Stammfunktion von $f$.
Sei nun $F:I\to ℝ$ eine Stammfunktion von $f$. Dann existiert nach der Charakterisierung konstanter Funktionen eine Konstante $C\in ℝ$ mit $F(x)=G(x)+C$ für alle $x\in [a,b]$. Damit gilt erneut nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

$F(b)-F(a)=G(b)+C-G(a)-C=G(b)-G(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

$◻$