Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Festlegbarkeit der Stammfunktion

Definition

Seien $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine Funktion. Eine Stammfunktion von $f$ ist eine differenzierbare Funktion $F:I\to ℝ$ so, dass für deren Ableitungsfunktion $F^{\prime }:I\to ℝ$ gilt $F^{\prime }=f$.

Satz

Seien $I\in ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine stetige Funktion. Seien $F,G:I\to ℝ$ zwei Stammfunktionen von $f$. Dann existiert eine Zahl $C\in ℝ$ mit $F(x)=G(x)+C$ für alle $x\in I$.

Beweis

Da $F$ und $G$ Stammfunktionen einer stetigen Funktion sind, sind sie stetig differenzierbar. Damit ist die Funktion Funktion $F-G:I\to ℝ$ differenzierbar und für ihre Ableitung gilt $(F-G{)}^{\prime }=F^{\prime }-G^{\prime }=f-f=0$ nach der Summenregel. Damit ist die Funktion $F-G$ nach der Charakterisierung konstanter Funktionen konstant, d. h. es existiert ein $C\in ℝ$ mit $F(x)=C+G(x)$ für alle $x\in I$.

$◻$