Mathe für Nicht-Freaks: Koordinatenräume

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Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der $n$-Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum ${ℝ}^3$.

Herleitung

In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren. Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir die aus der Schule bekannten Vektorräume ${ℝ}^3$ und ${ℝ}^2$ zu einem Vektorraum ${ℝ}^n$ für jede natürliche Zahl $n$ erweitern. Dafür erinnern wir uns daran, wie die Addition von zwei Vektoren und die skalare Multiplikation zwischen einem Vektor und einem Skalar im ${ℝ}^3$ und ${ℝ}^2$ funktioniert: Wir haben Vorlage:Einrücken Mit anderen Worten ist die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert. Das heißt, die Addition und skalare Multiplikation im ${ℝ}^2$ und ${ℝ}^3$ ist dadurch definiert, dass wir jeweils in den einzelnen Komponenten addieren beziehungsweise in jeder Komponente mit dem Skalar multiplizieren. Genau so können wir auch eine Addition und eine skalare Multiplikation definieren, wenn unsere Vektoren nicht aus zwei oder drei, sondern aus $n$ reellen Zahlen bestehen. Das heißt, auf der Menge Vorlage:Einrücken definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation komponentenweise.

Explizit passiert also folgendes: Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition in $ℝ$ und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation in $ℝ$. Seien $x=(x_1,\dots ,x_n)$ und $y=(y_1,\dots ,y_n)$ mit $x_i,y_i\in ℝ$, dann ist die Vektoraddition definiert durch Vorlage:Einrücken

Seien $x\in {ℝ}^n$ und $\alpha \in ℝ$, dann ist die skalare Multiplikation definiert durch Vorlage:Einrücken

Wir können nun leicht überprüfen, dass ${ℝ}^n$ mit dieser Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper $ℝ$ ist. Tatsächlich machen wir das in einer verallgemeinerten Version weiter unten in diesem Artikel.

Damit haben wir die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen $ℝ$ und der Vektorräume ${ℝ}^2$ und ${ℝ}^3$ auf den Vektorraum ${ℝ}^n$ übertragen. Wir bezeichnen ${ℝ}^n$ auch als Koordinatenraum der Dimension $n$ von $ℝ$.

Einfache Verallgemeinerung

Bei der Definition der Vektorraumstruktur auf ${ℝ}^n$ haben wir nur die Multiplikation und Addition auf $ℝ$ verwendet. Damit können wir durch die obige Konstruktion auch einen Koordinatenraum über beliebigen Körpern definieren. Schließlich haben wir auf jedem Körper $K$ eine Addition und Multiplikation. Das heißt, wir betrachten analog zu oben die Menge Vorlage:Einrücken Um jetzt zu einem Koordinatenraum der Dimension $n$ des Körpers $K$ zu gelangen, müssen wir wieder eine Addition und skalare Multiplikation definieren. Dafür kopieren wir die Definition von oben und definieren diese komponentenweise, das heißt wir nutzen in jeder Komponente die Addition und Multiplikation von $K$ um die Addition und skalare Multiplikation auf $K^n$ zu definieren.

Definition des Koordinatenraumes

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $n\in \mathbb{N}$. Wir definieren auf der Menge $K^n$ eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Der Koordinatenraum ist ein VektorraumVorlage:Anker

Im Artikel Einführung in den Vektorraum haben wir die obige Konstruktion zunächst über $ℝ$ und dann über beliebigen Körpern genutzt, um die Vektorraumaxiome herzuleiten. Außerdem erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften wie Vektorräume und wir haben den Körper sehr direkt dafür benutzt, um die Addition und skalare Multiplikation auf dem Koordinatenraum zu definieren. Daher können wir vermuten, dass die Definition von $⊞$ und $⊡$ auf $K^n$ eine Vektorraumstruktur definiert. Das wollen wir jetzt zeigen.

Zusammenhang mit dem Körper als Vektorraum

Wir haben bereits gesehen, dass $K$ ein $K$-Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume $K^n$, denn es ist $K^1=K$. Dabei fassen wir die Vektoren $(x)\in K^1$ als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt dem $1$-Tupel $(x)$ nur $x$, statt $(1)$ nur $1$ und statt $(0)$ nur $0$.

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