Elektrische Elemente/ Widerstand/ Formeln

Ohmsches Gesetz

Das ohmsche Gesetz ist auf Georg Simon Ohm zurückzuführen, der es im Jahr 1826 beschrieb. Der Widerstand lässt sich folgendermaßen berechnen:

$\mathrm{R}\mathrm{=}\frac{U}{I}$

Dabei ist R der elektrische Widerstand, U die Spannung und I die Stromstärke. Des Weiteren ist zu beachten, dass die Formel nur stimmt, wenn der Widerstand eine Temperatur von 20°C besitzt.

Wenn man diese Gleichung umstellt, dann kann man auch U und I berechnen.

$\mathrm{U}\mathrm{=}\mathrm{R}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{=}\frac{U}{R}$

Widerstandsgesetz

Das Widerstandsgesetz stellt den Zusammenhang des elektrischen Widerstands des Leiters und deren Aufbau dar. Der Widerstand lässt sich folgendermaßen berechnen:

$\mathrm{R}\mathrm{=}\mathrm{\rho }\mathrm{\cdot }\frac{l}{A}$

Hierbei ist R der Widerstand, l die Länge des elektrischen Leiters, A die Querschnittsfläche des elektrischen
Leiters und ρ der spezifische elektrische Widerstand. Auch diese Gleichung kann man wieder umstellen. Des Weiteren ist zu beachten, dass die Formel nur stimmt, wenn der Widerstand eine Temperatur von 20°C besitzt.

Widerstandsberechnung über die Leistung

Die Leistung hat bekanntlich folgende Formel:

$\mathrm{P}\mathrm{=}\mathrm{U}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}$

Wobei P die Leistung, U die Spannung und I der Strom ist.

Auch bekannt ist das Ohmsche Gesetz:

$\mathrm{R}\mathrm{=}\frac{U}{I}$

Nun stellen wir das Ohmsche Gesetz nach U um:

$\mathrm{U}\mathrm{=}\mathrm{R}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}$

und setzen ein:

$\mathrm{P}\mathrm{=}\mathrm{R}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\to }\mathrm{P}\mathrm{=}\mathrm{R}\mathrm{\cdot }{\mathrm{I}}^{\mathrm{2}}$

Diese Gleichung können wir wieder nach R umstellen:

$\mathrm{R}\mathrm{=}\frac{P}{I^2}$

Man kann das Ohmsche Gesetz aber auch nach I umstellen:

$\mathrm{I}\mathrm{=}\frac{U}{R}$

und wieder einsetzen:

$\mathrm{P}\mathrm{=}\mathrm{U}\mathrm{\cdot }\frac{U}{R}\mathrm{\to }\mathrm{P}\mathrm{=}\frac{U^2}{R}$

Nach R umgestellt, sieht es dann so aus:

$\mathrm{R}\mathrm{=}\frac{U^2}{P}$

Temperaturabhängigkeitsformeln von Widerständen

Widerstände verändern ihren Widerstand, wenn sie wärmer bzw. kälter werden.

Hierbei gibt es 2 Formeln:

$\left(1\right)\mathrm{R}\left(\theta \right)\mathrm{=}{\mathrm{R}}_{{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{0}}}\mathrm{\cdot }(1+{\alpha }_{{\theta }_0}\cdot (\theta -{\theta }_0))$

$\left(2\right)\mathrm{R}\left(\theta \right)\mathrm{=}{\mathrm{R}}_{{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{0}}}\mathrm{\cdot }(1+{\alpha }_{{\theta }_0}\cdot ({\theta }_0-\theta )+{\beta }_{{\theta }_0}\cdot {({\theta }_0-\theta )}^2)$

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(1)   Dabei ist R(θ) der Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur, R_θ0 der Widerstand bei 20 °C,
       α_θ0 der Temperaturkoeffezient 1. Ordnung bei 20 °C, θ die Temperatur des Widerstandes (gewünschte
       Temperatur) und θ₀ ist 20 °C.

(2)   Bei dieser Formel sind R(θ), R_θ0, α_θ0, θ und θ₀ dasgleiche wie bei (1). β₀ ist der Temperaturkoeffizient 2.
       Ordnung bei 20 °C.

Die Gleichung (1) verwendet man bei der Widerstandsberechnung von maximal 140 °C.
Die Gleichung (2) verwendet man bei der Widerstandsberechnung ab 140 °C

Warum gilt nun (1) nur bis 140 °C und (2) ab 140 °C?
Der Widerstand ändert sich beim Ansteigen der Temperatur linear. Dies geschiet bis ca. 140 °C (Abweichungen bei unterschiedlichen Materialen sind möglich). Ab ca 140 °C ändert sich der Widerstand nicht mehr linear, sondern quadratisch, also in Form einer Parabel. Dies ist in Gleichung (2) am quadratischen Glied β₀ * (θ₀ - θ)² sichtbar.

Quellen

http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrischer_Widerstand#Einflusseffekte
http://artikel.schuelerlexikon.de/Physik/Widerstandsgesetz.htm
http://www.uni-kassel.de/ema/praktika/gier/Versuch1.pdf