Diffgeo: Flächentheorie: erste Fundamentalform

Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge / erste Fundamentalform

Herleitung der klassischen Darstellung

Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie.

$s=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\Vert \dot{\overrightarrow{x}}\Vert \mathrm{d}t$

$\dot{\overrightarrow{x}}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$ unterscheidet sich allerdings, da $\overrightarrow{x}$ in Abhängigkeit von u und v gegeben ist und deswegen auch nach u und v abgeleitet wird.

$\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{\partial \overrightarrow{x}}{\partial u}\frac{du(t)}{dt}+\frac{\partial \overrightarrow{x}}{\partial v}\frac{dv(t)}{dt}$

u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.

Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:

$\dot{\overrightarrow{x}}={\overrightarrow{x}}_u\cdot \dot{u}+{\overrightarrow{x}}_v\cdot \dot{v}$

Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:

$(\dot{\overrightarrow{x}}{)}^2=({\overrightarrow{x}}_u\cdot \dot{u}+{\overrightarrow{x}}_v\cdot \dot{v}{)}^2={\overrightarrow{x}}_u\cdot {\overrightarrow{x}}_u\cdot {\dot{u}}^2+2\cdot {\overrightarrow{x}}_u\cdot {\overrightarrow{x}}_v\cdot \dot{u}\cdot \dot{v}+{\overrightarrow{x}}_v\cdot {\overrightarrow{x}}_v\cdot {\dot{v}}^2$

Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:

$E={\overrightarrow{x}}_u\cdot {\overrightarrow{x}}_u$

$F={\overrightarrow{x}}_u\cdot {\overrightarrow{x}}_v$

$G={\overrightarrow{x}}_v\cdot {\overrightarrow{x}}_v$

Das Integral sieht jetzt so aus:

$s=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{E{\dot{u}}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G{\dot{v}}^2}\mathrm{d}t$

Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich

${\left(\frac{ds}{\mathrm{d}t}\right)}^2=E{\dot{u}}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G{\dot{v}}^2$

Multiplizieren mit $d{t}^2$ (steckt in $\dot{u}$ und $\dot{v}$ drin!) ergibt die metrische oder erste Fundamentalform:

Neue Darstellung

• Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
• Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
• Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch $(u^{\alpha })$ und $(u^{\beta })$ ersetzt.

(D.h. für $\alpha =2$ oder $\beta =2$ : $u^{\alpha }=u^{\beta }=(u^2)$   bedeutet u mit Index 2 und nicht $u\cdot u$)

erster Fundamentaltensor

Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik.

$𝐆=\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right)$

Bogenlängen der Parameterlinien

Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:

für v=const:

$s=\int \sqrt{E}\mathrm{d}u$

für u=const:

$s=\int \sqrt{G}\mathrm{d}v$

Beispiel für Kugel

Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:

${\overrightarrow{x}}_u=-R\cdot \sin u\cdot \cos v\cdot \overrightarrow{e_x}+R\cdot \cos u\cdot \cos v\cdot \overrightarrow{e_y}$

${\overrightarrow{x}}_v=-R\cdot \cos u\cdot \sin v\cdot \overrightarrow{e_x}-R\cdot \sin u\cdot \sin v\cdot \overrightarrow{e_y}+R\cdot \cos v\cdot \overrightarrow{e_z}$

Fundamentalgrößen

$E=R^2{\cos }^{2}v$

$F=0$

$G=R^2$

erste Fundamentalform

$d{s}^2=R^2(\cos v^{2}d{u}^2+d{v}^2)$

Erkenntnisse

Radius der Parameterlinien

Parameterlinien senkrecht

Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.

Radius der Parameterlinien

Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.

u-Parameterlinien

Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius $\sqrt{G}=R$. Sie entsprechen den Meridianen mit fester Länge (u-Parameter) und variabler Breite (v-Parameter).

v-Parameterlinien

Die v-Parameterlinien haben feste Breite v bzw. $\varphi$. Die Länge u ist variabel. Jede Parameterlinie hat ihren eigenen Radius $\sqrt{E}=R\cos v$.