Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion

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Abbildung, Funktion Vorlage:Anker

Datei:Funktionen - Quatematik.webm Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen $A$ und $B$. Dies bedeutet, dass jedem Element $x\in A$ durch die Abbildung $f$ genau ein Element $f(x)\in B$ zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion von der Menge $ℝ$ in die Menge $ℝ$, die jeder reellen Zahl $x\in ℝ$ ihre Quadratzahl $x^2\in ℝ$ zuordnet. Die Schreibweise für Abbildungen von $A$ nach $B$ ist:

Ausgesprochen wird dieser Ausdruck so:

Die Menge $A$ heißt Definitionsbereich von $f$ und $B$ ist die Zielmenge der Abbildung. Die Elemente aus dem Definitionsbereich von $f$ werden Argument genannt und jedes durch die Abbildung getroffene Element $f(x)\in B$ heißt Funktionswert zum Argument $x$.

In der Zielmenge $B$ müssen nicht alle Elemente Funktionswerte sein.

Hier besteht der Definitionsbereich $A:=\{1,2,3,4\}$ aus vier Elementen. Die Zielmenge ist $B:=\{0,1,2\}$. $0$ und $1$ sind Funktionswerte. Die Zahl $2$ dagegen nicht, denn keine Zahl ergibt bei Division durch $2$ den Rest $2$. Also sind nicht alle Elemente in $B$ Funktionswerte.

Die Pfeile geben die Zuordnung wider: sie gehen vom Argument zum Funktionswert und verbinden so ein Paar. Wir können daher die Zuordnung $f$ als eine Menge von Paaren aus Argument und Funktionswert beschreiben: $f:=\{(1,1),(2,0),(3,1),(4,0)\}$. Mengen von Paaren haben wir bereits im Kapitel Relation kennengelernt. Abbildungen sind also Relationen! Aber nicht jede Relation ist eine Abbildung. Damit eine Relation eine Abbildung ist, muss jedes Element in $A$ in Relation mit genau einem Element in $B$ sein

Fassen wir noch einmal zusammen, was eine Funktion ausmacht: Die Paare $(x,f(x))$ bilden eine Relation $\{(x,y)\in A\times B|f(x)=y\}\subseteq A\times B$. Diese Relation hat eine spezielle Eigenschaft: zu jedem Element $x$ gibt es genau ein Element $y$ mit $(x,y)\in f$. Im Pfeildiagramm erkennst du dies daran, dass von jedem Element des Definitionsbereichs $A$ genau ein Pfeil ausgeht. Im Koordinatensystem muss es zu jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert geben.

Die quadratische Funktion $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto x^2$

Wir definieren daher Abbildungen als eine Relationen mit der oben genannten Eigenschaft:

Funktionen werden häufig im Koordinatensystem veranschaulicht, wie in der Darstellung der Funktion rechts. Dabei werden die Paare $(x,f(x))$ als Koordinaten aufgefasst. Diese Punktemenge wird dann als Graph der Funktion bezeichnet.

Definitions- und Wertebereich Vorlage:Anker Vorlage:Anker

Ist $f:A\to B$ eine Funktion von $A$ nach $B$, so ist $𝖣𝖻(f)=A$ der Definitionsbereich $𝖣𝖻$ von $f$

Der Wertebereich $𝖶𝖻$ einer Funktion ist als die Menge der Funktionswerte definiert: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Es gilt $𝖶𝖻(f)\subseteq B$.

Einschränkung einer Funktion

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition $f\upharpoonright C:C\to B$ ist tatsächlich eine Funktion.

Gleichheit von Abbildungen

Es ist nicht sofort klar, wann zwei Abbildungen gleich sind. Ähnlich wie bei Mengen müssen wir definieren, wann zwei Abbildungen gleich sind. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Sind zwei Funktionen gleich, so sind auch die Definitionsbereiche und die Wertebereiche gleich. Bei der Gleichheit kommt es nicht darauf an, ob die Zuordnungsvorschriften $x\mapsto f(x)$ und $x\mapsto g(x)$ gleich formuliert sind! Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Bild und Urbild Vorlage:Anker Vorlage:Anker

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

Notation: Es ist üblich, sowohl für den Funktionswert $f(x)$ eines Elementes $x\in D$, als auch für das Bild $f(A)$ einer Teilmenge $A\subseteq D$ die gleiche Schreibweise zu verwenden, nämlich $f(\dots )$ mit runden Klammern. Aus dem Zusammenhang muss dann klar werden, was jeweils gemeint ist. Einige Autor*innen verwenden daher für das Bild einer Teilmenge $A\subseteq D$ eckige Klammern: $f[A]$.

Bild und Urbild

Beachte, dass $B$ auch Elemente enthalten kann, die durch $f$ nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl $3$ wird nicht getroffen und die Zahl $4$ besitzt als Funktionswert nur das Argument $6$. Dementsprechend gilt für das Urbild $f^{-1}(\{3,4\})=\{6\}$.

Eigenschaften von Abbildungen Vorlage:Anker

$f$ sei eine Funktion von der Menge $X$ in die Menge $Y$. Es gelte also: $f:X\to Y$.

Injektiv Vorlage:Anker

Beispiel Injektivität

Datei:Injektivität von Funktionen - Quatematik.webm

Bildung der Umkehrfunktion

Wenn eine Funktion verschiedene Argumente stets auf verschiedene Funktionswerte abbildet, wird sie injektiv genannt. Im Pfeildiagramm injektiver Funktionen treffen niemals zwei Pfeilspitzen auf denselben Funktionswert.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Zum Nachweis der Injektivität wird häufig die Kontraposition verwendet: $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.

Surjektiv Vorlage:Anker

Beispiel Surjektivität

Eine Funktion $f$ ist surjektiv, wenn alle Elemente von $Y$ von der Funktion getroffen werden. Anders ausgedrückt: zu jedem Element $y\in Y$ gibt es ein Argument $x\in X$, mit $f(x)=y$.

Datei:Surjektivität von Funktionen- Quatematik.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Bijektiv Vorlage:Anker

Beispiel Bijektivität

Eine Funktion $f:X\to Y$ kann sowohl injektiv als auch surjektiv sein. Man nennt diese Eigenschaft bijektiv. Im Pfeildiagramm ist dann jedes Element von $X$ mit genau einem Element von $Y$ verbunden. Mit Hilfe von bijektiven Funktionen können Mengen hinsichtlich ihre Größe verglichen werden: gibt es eine Bijektion von $X$ auf $Y$, so haben die beiden Mengen $X$ und $Y$ gleichviele Elemente. Wir werden den Größenvergleich zwischen Mengen im Kapitel Mächtigkeit von Mengen ausführlich behandeln.

Datei:Bijektivität von Funktionen- Quatematik.webm

• 
  f : Gerade
• 
  g : Parabel 3. Grades
• 
  h : Sinuskurve

Funktionskomposition Vorlage:Anker

Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen $f:A\to B$ und $g:B\to C$ gegeben. Dann können wir die beiden Funktionen nacheinander ausführen. Wir bilden zunächst ein $x\in A$ mit $f$ ab und erhalten $f(x)=y\in B$. Dann können wir darauf $g$ anwenden und erhalten $g(y)=z\in C$. Insgesamt ergibt sich $g(f(x))=z$. Das führt zum Begriff der Komposition von Funktionen

Aufgaben

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