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Additionstheoreme (Sinus)

Beweis für:

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \cos \alpha$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}AOB$ ist

(1)  $\sin (\alpha +\beta )=\frac{\overline{AB}}{1}=\overline{AB}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}BOD$ ist

(2)  $\sin \beta =\frac{\overline{BD}}{1}=\overline{BD}$

und

(3)  $\cos \beta =\frac{\overline{OD}}{1}=\overline{OD}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}OCD$ ist

(4.1) $\sin \alpha =\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}$

(3) eingesetzt

(4.2) $\sin \alpha =\frac{\overline{CD}}{\cos \beta }$

(4.3) $\sin \alpha \cdot \cos \beta =\overline{CD}$

Zwischenbeweis:

Die Dreiecke $\mathrm{△}BSD$ und $\mathrm{△}OSA$ sind beide rechtwinklig
und deshalb sind $\mathrm{\angle }BSD=\mathrm{\angle }OSA$ Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0) $\mathrm{\angle }SOA=\mathrm{\angle }SBD=\alpha$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}EDB$ gilt

(5.1) $\cos \alpha =\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}$

(2) eingesetzt

(5.2) $\cos \alpha =\frac{\overline{BE}}{\sin \beta }$

(5.3) $\sin \beta \cdot \cos \alpha =\overline{BE}$

(6.1) $\overline{AB}=\overline{CD}+\overline{BE}$

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2) $\overline{AB}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

in (1) eingesetzt

(7) $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

Wenn Winkel $\beta$ negativ:

(8)  $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos (-\beta )+\sin (-\beta )\cdot \cos \alpha$

(9a) $\cos (-\beta )=+\cos \beta$

und

(9b) $\sin (-\beta )=-\sin \beta$

eingesetzt in (8)

(10) $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\sin \beta \cdot \cos \alpha$

(7) und (10) zusammengefasst

(11)  $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \cos \alpha$

Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei $\alpha =\beta$

(12)  $\sin 2\alpha =\sin \alpha \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

(13)  $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

Halbwinkelformel

Aus Additionstheoreme (Kosinus)

Formel (15.2):  $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

wenn:   $\alpha =\frac{\phi }{2}$

(14) $\cos \phi =1-2{\sin }^2\frac{\phi }{2}$

aufgelöst nach:   ${\sin }^2\frac{\phi }{2}$

(15.1)  ${\sin }^2\frac{\phi }{2}=\frac{1-\cos \phi }{2}$

oder

(15.2)  $\sin \frac{\phi }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \phi }{2}}$

Additionstheoreme (Sinus)

Beweis für

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\pm \sin \left(\beta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)$

Für den Beweis werden die Beziehungen
$\begin{array}{cc}\sin \left(\alpha \right)& =\frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\\ \cos \left(\alpha \right)& =\frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\end{array}$
verwendet.

Es gilt:
$\begin{array}{cc}\sin (\alpha \pm \beta )& =\sin \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\pm \sin \left(\beta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)\\ & =\frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot \frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\pm \frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\cdot \frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\\ & =\frac{1}{4\cdot 𝗂}\cdot (({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\pm ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha }))\\ & =\frac{1}{4\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}+{𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}-{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}-{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\pm {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\pm {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\mp {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\mp {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )})\\ & =\frac{1}{4\cdot 𝗂}\cdot ((1\pm 1)\cdot {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}+(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}-(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}-(1\pm 1)\cdot {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )})\\ & =\frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha \pm \beta )}-{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha \pm \beta )})\end{array}$
Die Umformung zum vorletzten Schritt ist zulässig, da entweder $(1\pm 1)\cdot {𝖾}^{\pm 𝗂\cdot (\alpha +\beta )}$ oder $(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{\pm 𝗂\cdot (\alpha -\beta )}$ auftritt.

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme

en:Trigonometry/Sum and Difference Formulas it:Trigonometria/Formule goniometriche pt:Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos