Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele und Eigenschaften von Folgen

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Beispiele

Konstante Folge

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

Mit $c\in ℝ$ lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge $a_n:=c$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Arithmetische Folgen

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von $2$ zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

Geometrische Folge

Beispiel einer geometrischen Folge: $a_n=2^n$ für alle $n\in \mathbb{N}$

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge $a_n=2^n$ mit dem konstanten Verhältnis $2$:

Harmonische Folge

Die ersten zehn Folgenglieder der harmonischen Folge

Die Folge mit dem allgemeinen Glied $a_n=\frac{1}{n}$ nennt man harmonische Folge. Sie heißt deswegen „harmonische Folge“, weil man mit ihr in der Musik Intervalle definieren kann. Neben der Oktave beschreibt sie reine Quinten und Terzen. Außerdem wird sie gern als Beispielfolge für diverse mathematische Konzepte herangezogen. Die ersten Folgenglieder dieser Folge lauten:

Demgegenüber wird die Folge $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$ bzw. $b_n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{1}{n}$ alternierende harmonische Folge genannt. Es handelt sich dabei um die Folge

beziehungsweise

Für $k\in \mathbb{N}$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

Alternierende Folgen

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgengliedern. Der Begriff „alternierend“ bedeutet hier „regelmäßiger Vorzeichenwechsel“. So wechselt bei der Folge $a_n=(-1{)}^n$ der Wert immer zwischen $1$ und $-1$, so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge $a_n=(-1{)}^{n+1}\cdot n$ mit ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}=(1,-2,3,-4,5,-6,\dots )$.

Die e-Folge

Vorlage:Todo Ein beliebtes Beispiel ist die $e$-Folge. In der Praxis entsteht sie durch den Zinseszins-Effekt bei der Verzinsung eines Guthabens. Nimm an, du legst bei deiner Bank einen Euro zu einem Zinssatz von $100\mathrm{\%}$ für ein Jahr an. (In der Praxis ist dieser Zinssatz natürlich unrealistisch! ;-)). Nach einem Jahr hast du dann ein Guthaben von $1+1=2$ Euro. Um deinen Zinsgewinn zu steigen, überlegst du dir folgenden Trick: Du hebst den Euro nach einem halben Jahr schon ab und bekommst daher zunächst $1+\frac{1}{2}=1,50$ Euro zurück. Diese legst du nun sofort wieder an und bekommst somit nach einem Jahr

Euro. Du hast somit deinen Zinsgewinn um $0,25$ Euro gesteigert. Dies lässt sich noch weiter verbessern! Hebst du dein Geld bereits jeweils nach einem Vierteljahr ab und legst es sofort wieder an, so bekommst du nach einem Jahr sogar $2,44$ Euro.

Wiederholst du diesen diesen Vorgang nun allgemein $n$-mal, so bekommst du nach einem Jahr

Euro zurück. Dies ist genau das Bildungsgesetz für die $e$-Folge ${\left({(1+\frac{1}{n})}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$. Die Frage ist nun, ob diese Folge beliebig ansteigt, d. h., ob wir durch unseren Trick unser Guthaben nach einem Jahr beliebig vergrößern können. Die Antwort ist leider nein (:-(). Die Folge wird nicht größer als die Eulersche Zahl $e=2,71828\dots$. Dein maximales Guthaben nach einem Jahr beträgt somit $2,72$ Euro. Den Beweis, warum die Folge ${\left({(1+\frac{1}{n})}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sich der Eulerschen Zahl $e$ annähert, findest du im Kapitel Monotoniekriterium.

Folge der Fibonacci-Zahlen

Die ersten Folgenglieder der Fibonacci-Folge

Das Bildungsgesetz hinter der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.

Mischfolgen

Mischfolgen sind Verallgemeinerungen der alternierenden Folge. Aus zwei Folgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ können wir eine neue Folge bilden, bei der sich die Folgenglieder aus $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ abwechseln. Wir betrachten also die Folge Vorlage:Einrücken Ein Folgenglied mit ungeradem Index, sagen wir $a_{2k-1}$ für $k\in \mathbb{N}$, stimmt mit dem Folgenglied $b_k$ der Folge $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ überein. Und ein Folgenglied mit geradem Index, sagen wir $a_{2k}$ für $k\in \mathbb{N}$, stimmt mit dem Folgenglied $c_k$ der Folge $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ überein.

Um nun eine allgemeine Formel für $a_n$ mit $n\in \mathbb{N}$ zu erhalten, unterscheiden wir, ob $n$ ungerade oder gerade ist. Ist $n$ ungerade, wählen wir $k=\frac{n+1}{2}$, damit $n=2k-1$ gilt, und erhalten $a_n=a_{2k-1}=b_k=b_{\frac{n+1}{2}}$. Entsprechend gilt für gerades $n$ die Formel $a_n=c_{\frac{n}{2}}$. Insgesamt gilt daher

$(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist dann die Mischfolge aus den Folgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Wenn du eine Aufgabe lösen willst, in der eine Folge durch eine Fallunterscheidung, ob $n$ ungerade oder gerade ist, definiert ist, ist diese Folge eine Mischfolge zweier Folgen mit einem einfacheren Bildungsgesetz. Prinzipiell ist aber jede beliebige Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Mischfolge, und zwar aus den beiden Folgen $(a_{2n-1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(a_{2n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Zum Beispiel ist die Folge $(1,2,3,\dots )$ der natürlichen Zahlen die Mischfolge aus der Folge $(1,3,5,\dots )$ der ungeraden Zahlen und der Folge $(2,4,6,\dots )$ der geraden Zahlen.

Eigenschaften und wichtige Begriffe

Beschränkte Folge

Ein Beispiel einer beschränkten Folge ($a_n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{1}{n}$) mit einigen eingezeichneten Schranken.

Vorlage:Todo

Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten. Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt („diese Zahl beschränkt die Folge von oben“). Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt. Es gibt also eine reelle Zahl, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

obere Schranke

Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer als jedes Folgenglied einer Folge ist. $S$ ist eine obere Schranke von $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, wenn $a_n\le S$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist.

nach oben beschränkte Folge

Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn sie irgendeine obere Schranke besitzt.

untere Schranke

Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner als jedes Folgenglied einer Folge ist. $s$ ist eine untere Schranke von $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, wenn $a_n\ge s$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist.

nach unten beschränkte Folge

Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn sie irgendeine untere Schranke besitzt.

beschränkte Folge

Eine Folge ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Monotone Folgen

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Werden die Folgenglieder einer Folge immer größer (also jedes nachfolgende Folgenglied $a_{n+1}$ ist größer als $a_n$), so nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine Folge mit immer kleiner werdenden Folgengliedern streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen zwei Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge. Merke dir: „streng monoton“ bedeutet so viel, wie „immer größer“ oder „immer kleiner“ werdend. Demgegenüber bedeutet „monoton“, ohne das „streng“, so viel wie „immer größer werdend oder konstant bleibend“ bzw. „immer kleiner werdend oder konstant bleibend“. Wir erhalten folgende Definition:

Anmerkung: Konvergente Folgen

Folgen werden auch dahin gehend unterschieden, ob sie einen sogenannten Grenzwert besitzen oder nicht. Man nennt sie dann konvergent beziehungsweise divergent. Diese Eigenschaft wird jedoch erst später im Abschnitt zum Grenzwert behandelt. Diese Eigenschaft wurde hier nur zur Vollständigkeit genannt.

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