Mathematik: Analysis: Stetigkeit: Folgenstetigkeit

2. Folgenstetigkeit

Unter Verzicht auf solche Funktionen, deren Definitionsmenge isolierte Punkte enthält oder nur aus isolierten Punkten besteht, kann man die Stetigkeit auch noch anders fassen.

Satz - Folgenkriterium für (lokale) Stetigkeit

Eine Funktion $f:D_f\to ℝ$ ist stetig bei $a$ genau dann, wenn Folgendes gilt:

$a\in D_f$, außerdem $a$ Häufungspunkt von $D_f$, und für jede Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, deren Glieder in $D_f$ liegen und deren Grenzwert $a$ ist, existiert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a_n)$ und ist gleich $f(a)$.

Verkürzt formuliert besagt das Folgenkriterium, dass im Stetigkeitsfall Limesbildung und Funktionswertberechnung vertauschbar sind:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a_n)=f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n)=f(a).$

Falls es sich um eine Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ handelt, so ist in der Definition der (lokalen) Stetigkeit anstatt des Betrages die jeweils für ${ℝ}^n$ bzw. ${ℝ}^m$ zugrunde gelegte Norm zu verwenden.

Oft ist es so, dass für einen lokalen Stetigkeitsnachweis das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium geeignet ist, für einen Nachweis der Unstetigkeit an einer Stelle jedoch das Folgenkriterium bequemer zu handhaben ist.