MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ S-Multiplikation

Multiplikation mit Skalaren

Wie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor $\overrightarrow{a}$ nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als $-\overrightarrow{a}$.

Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem Betrag und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor $\overrightarrow{b}$ mit $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|r\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|,r\in ℝ$: Dieser Vektor wird als $r\cdot \overrightarrow{a}$ bezeichnet, wobei das Symbol $\cdot$ für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:

MathGymOSVorlage/ Definition

Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden.

Es gilt: $(-1)\cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$. Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor $-1$.

Außerdem gilt für jedes $n\in \mathbb{N}:n\cdot \overrightarrow{a}=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+\dots +\overrightarrow{a}}}$

Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich zeigen MathGymOSVorlage/ Regel

Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren: MathGymOSVorlage/ Regel

MathGymOSVorlage/ Beispiele

Kollinearität

Vektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als parallel oder antiparallel bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:

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MathGymOSVorlage/ Beispiele

Zu den Übungsaufgaben

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