MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Ebenen 2

Normalenvektoren

Ein Solarpanel

Damit Solarzellen optimal die Sonnenenergie in elektrischen Strom umwandeln können sollten die Sonnenstrahlen möglichst senkrecht auf das Solarpanel treffen.

Ein Solarpanel befindet sich in der Ebene:

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)(s,t\in ℝ)$

Der Vektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Ebene, denn

$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$ und $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)=0$

damit ist $\overrightarrow{n}$ auch orthogonal zu jedem Verbindungsvektor von je zwei Punkten der Ebene. Ein solcher Vektor wird als ein Normalenvektor der Ebene bezeichnet. Kommen die Sonnenstrahlen aus Richtung dieses Vektors, dann treffen sie senkrecht auf das Solarpanel.

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Ist die Ebene E in Parameterform gegeben

$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}(s,t\in ℝ)$

so ist jeder Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h. $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$.

Anders ausgedrückt $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0$ und $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}$,

bzw.

$\left|\begin{array}{ccccccc}{u}_1\cdot n_1& +& u_2\cdot n_2& +& u_3\cdot n_3& =& 0\\ v_1\cdot n_1& +& v_2\cdot n_2& +& v_3\cdot n_3& =& 0\end{array}\right|$

Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jede dieser Lösungen liefert einen möglichen Normalenvektor der Ebene.

Es gibt unendlich viele Normalenvektoren zu einer Ebene E, die aber alle kollinear sind.

Der vermeintlich schnellere Weg zum Normalenvektor benötigt das Vektorprodukt. Ein möglicher Normalenvektor der Ebene E ist:

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

Einheitsnormalenvektoren

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Ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor einer Ebene, so ist ${\overrightarrow{n}}_e=\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\cdot \overrightarrow{n}$ ein Einheitsnormalenvektor.

Es gibt zu einer Ebene E genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die sich nur in ihrer Orientierung unterscheiden.

Die Allgemeine Normalenform

Das Solarpanel im obigen Beispiel befindet sich in der Ebene$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)(s,t\in ℝ)$ Ein Punkt dieser Ebene ist der Punkt P mit Ortsvektor $\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. Ein Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)$.

Dann gilt für jeden Punkt X der Ebene mit Ortsvektor $\overrightarrow{x}$, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PX}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$ orthogonal zu $\overrightarrow{n}$ ist, oder kurz $(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$.

Für jeden Punkt Y (Ortsvektor $\overrightarrow{y}$), der nicht auf der Ebene liegt, ist dagegen der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PY}=\overrightarrow{y}-\overrightarrow{p}$ auch nicht orthogonal zu $\overrightarrow{n}$, anders ausgedrückt $(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}\ne 0$.

Damit erfüllen ausschließlich die Punkte X mit Ortsvektor

$\overrightarrow{x}$

die zur Ebene E gehören die folgende (Punkt-)Normalen-Gleichung:

$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)=0$

Löst man die eckige Klammer auf und rechnet das Skalarprodukt aus, so erhält man:

$\overrightarrow{x}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 4\end{array}\right)-24=0$

Diese Darstellungsformen der Ebene heißen Normalenformen der Ebene.

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Die Hesse'sche Normalenform

Die Wahl des Normalenvektors zur Darstellung einer Ebene in Normalenform ist nicht eindeutig. Beschränkt man sich auf einen Einheitsnormalenvektor, so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform der Ebene. Diese ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig.

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben

$E:\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}-c=0$

so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform durch Division durch $\left|\overrightarrow{n}\right|$:

$\overrightarrow{x}\cdot \frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\cdot \overrightarrow{n}-\frac{c}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=0$

bzw. mit ${\overrightarrow{n}}_e:=\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\cdot \overrightarrow{n}$ und $d:=\frac{c}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$: MathGymOSVorlage/ Definition MathGymOSVorlage/ Regel MathGymOSVorlage/ Beweis

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Die Koordinatenform

Die allgemeine Normalenform einer Ebene

$E:\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}-c=0$

lässt sich auch schreiben als

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=c$

Führt man das Skalarprodukt aus, erhält man ein Koordinatenform der Darstellung von E. MathGymOSVorlage/ Definition

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Von der Normalenform oder der Koordinatenform zurück zur Parameterform

Mit Hilfe der Koordinatenform ist es sehr leicht, drei verschiedene Punkte zu finden, die auf der Ebene liegen, aber nicht auf einer gemeinsamen Gerade. Das können z.B. die drei Spurpunkte sein, falls diese existieren. Aus den drei Punkten lässt sich dann wie hier beschrieben die Parameterform der Ebene konstruieren.

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