Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe

Umgebungen

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Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt die disjunkte Zerlegung:

$X=\mathrm{int}(M)\cup \partial (M)\cup \mathrm{ext}(M).$

Konstruktionen

Topologische Summe

Seien $(X_i,T_i)$ topologische Räume. Sei

$X:=\underset{i\in I}{⨆}{X}_i:=\bigcup _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}.$

Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung

${\iota }_i(x):=(i,x),{\iota }_i:X_i\to X.$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Beachte:

${\iota }_k^{-1}(\underset{i\in I}{⨆}{A}_i)=A_k.$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Man kann eine solche Situation durch die Substitution $X_i:={X_i}^{\prime }$ mit

${X_i}^{\prime }:={\iota }_i(X_i)=\{i\}\times X_i$

herbeiführen.

Stetige Abbildungen

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Metrische Räume

Eigenschaften

Die Metrik ist nicht-negativ:

$d(x,y)\ge 0.$

In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

$|d(x,z)-d(z,y)|\le d(x,y).$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.