Mathe für Nicht-Freaks: Cauchysches Verdichtungskriterium

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In diesem Kapitel wollen wir das Verdichtungskriterium oder auch Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy) behandeln. Es bietet die Möglichkeit, die Konvergenz beziehungsweise Divergenz einer Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ auf die der verdichteten Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ zurückzuführen. Genauer besagt das Kriterium, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Um das Kriterium herzuleiten, verwenden wir dieselben Ideen, die wir für die Divergenz der harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ beziehungsweise die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}$ für $\alpha >1$ benutzt haben.

Wiederholung und Herleitung des Kriteriums

Für die Divergenz der harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ hatten wir die $2^n$-te Partialsumme $\sum _{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}$ nach unten wie folgt abgeschätzt: Vorlage:Einrücken

Die Frage ist nun, inwieweit wir diese Konzepte auf eine allgemeine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ mit denselben Eigenschaften wie die harmonische Reihe anwenden können. Im Wesentlichen haben wir bei der Abschätzung verwendet, dass die Glieder der harmonischen Reihe nichtnegativ und monoton fallend waren.

Sei also $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern und $a_k\ge a_{k+1}$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Dann gilt Vorlage:Einrücken

Also haben wir $\sum _{k=1}^{2^n}{a}_k$ nach unten durch $\frac{1}{2}\sum _{k=0}^n{2}^k{a}_{2^k}$ abgeschätzt. Divergiert $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ und damit auch $\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$, so divergiert $\sum _{k=1}^{2^n}{a}_k$ nach dem Minorantenkriterium. Da die Folge ${\left(\sum _{k=1}^{2^n}{a}_k\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Teilfolge der Partialsummenfolge ${\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist und da aus der Divergenz einer Teilfolge die Divergenz der gesamten Folge folgt, muss auch $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ divergieren. Über das Prinzip der Kontraposition erhält man: Konvergiert $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, so konvergiert auch $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$.

Des Weiteren hatten wir für die Konvergenz der verallgemeinerten harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}$ mit $\alpha >1$ die $n$-te Partialsumme $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}$ für $n\le 2^{m+1}-1$ nach oben durch die konvergente geometrische Reihe $\sum _{i=0}^m{\left(\frac{1}{2^{\alpha -1}}\right)}^i$ abgeschätzt. Dazu haben wir die folgende Abschätzung verwendet:

Dies versuchen wir nun wieder auf eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ mit nichtnegativen Gliedern und $a_{k+1}\le a_k$ für alle $k\in \mathbb{N}$ zu verallgemeinern: Sei $n\le 2^{m+1}-1$, dann gilt

Damit haben wir $\sum _{k=1}^n{a}_k$ nach oben durch $\sum _{k=0}^n{2}^k{a}_{2^k}$ abgeschätzt. Damit folgt: Konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$, so konvergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.

Insgesamt haben wir die Äquivalenz der Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^n{a}_k$ und der verdichteten Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ gezeigt. Dieses Resultat ist das Verdichtungskriterium für Reihen. Es ist durchaus nützlich, da es Beispiele von Reihen gibt, bei denen die Konvergenz beziehungsweise Divergenz der verdichteten Reihe wesentlich leichter zu bestimmen ist als bei der ursprünglichen Reihe.

Anwendungsbeispiele

Datei:Cauchy Verdichtungssatz für Reihenkonvergenz.webm

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