Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Lineare Abbildungen und Matrizen

Satz

Seien $n,m\in \mathbb{N}$ mit $n,m\ge 1$ sowie $K\in \{ℝ,ℂ\}$ und $L:K^n\to K^m$ linear: Dann existiert eine $m\times n$-Matrix $A\in K^{m\times n}$ mit $L(x)=Ax$ für alle $x\in K^n$.

Beweis

Sei $L$ entsprechend der obigen Definition gegeben und sei $(e_1,\dots ,e_n)$ die kanonische Basis des $K^n$. Dann definiere die $i$-te Spalte von $A$ durch $A{e}_i:=L{e}_i$ für $1\le i\le n$. Sei nun $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in K^n$. Dann gilt mit den Rechenregeln für Matrizen:

$\begin{array}{cc}L(x)& =L(x_1{e}_1+\dots +x_n{e}_n)=L(x_1{e}_1)+\dots +L(x_n{e}_n)\\ & =x_{1}L(e_1)+\dots +x_{n}L(e_n)=x_{1}A{e}_1+\dots +x_{n}A{e}_n\\ & =A(x_1{e}_1)+\dots +A(x_n{e}_n)=A(x_1{e}_1+\dots +x_n{e}_n)\\ & =Ax\\ \end{array}$.

$◻$