Quelltext der Seite Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Neuneck

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==Neuneck (Nonagon)==
* {{blau|Näherungskonstruktion|blue}} für das regelmäßige Neuneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.
* Einleitung und Erklärungen zu "Mathematische Zusammenhänge", "Konstruktionen" mit weiteren Näherungskonstruktionen u. a. m. sind in dem Artikel {{w|Neuneck}} enthalten.

==Konstruktion==
===Besonderheit===
* Die Darstellung zeigt eine Konstruktion bei gegebenem Umkreis. Eine Alternative bei gegebener Seite ist mit "alternativ" gekennzeichnet.

===Konstruktion bei gegebenem Umkreis===
[[File:01-Neuneck.svg|800px|rechts|01-Neuneck]]
# Zeichne eine frei wählbare Strecke '''{{Overline|MJ}}'''.
# Bestimme den Punkt '''S''' auf der Strecke '''{{Overline|MJ}}'''. In der Darstellung wurde hierfür die Strecke '''{{Overline|MJ}}''' halbiert. Prinzipiell ist die Lage des Punktes '''S''' bei gegebenem Umkreis frei wählbar. 
# Zeichne um den Punkt '''M''' einen Kreis durch den Punkt '''S''', es ist der Umkreis des späteren Neunecks.
# Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Punkt '''J''' mit dem Radius '''{{Overline|MJ}}'''.  
# Bestimme den Punkt '''B''' mit einem Abstand '''|SB|''', der gleich lang ist wie die Strecke '''{{Overline|MS}}'''. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
# Zeichne eine gerade Linie ab dem Punkt '''M''' bis zum kurzen Kreisebogen, es ergibt sich der Schnittpunkt '''K'''.  
# Verbinde den Punkt '''K''' mit dem Punkt '''J''', somit entsteht das gleichseitige Dreieck '''MJK'''. 
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{JMK}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>1</sub>'''.
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{JMW_1}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>2</sub>''', mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke '''{{Overline|MJ}}'''. 
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{W_2MW_1}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>3</sub>''', etwas länger als die Strecke '''{{Overline|MJ}}'''. 
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{W_2MW_3}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>4</sub>''', mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende '''W<sub>3</sub>'''. 
# Zeichne den Kreisbogen '''b''' um den Punkt '''M''', ab dem Punkt '''K''' bis zur Winkelhalbierende '''W<sub>4</sub>''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''O''' auf '''W<sub>4</sub>''' und der Schnittpunkt '''N''' auf '''W<sub>3</sub>'''.
# Zeichne eine gerade Hilfslinie '''g''' die über den Punkt '''O''' den Punkt '''N''' anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte '''O''' und '''N''' angelegt), aber nur bis zum Punkt '''O''' verläuft. Somit ist zwischen den Punkten '''O''' und '''N''' keine gerade Hilfslinie '''g''' und der Kreisbogen '''MON''' für den späteren Schnittpunkt '''R''' frei zugänglich. 
# Zeichne einen Halbkreis um den Punkt '''O''' mit dem Radius '''|NO|''', es ergibt sich auf der Hilfslinie '''g''' der Schnittpunkt '''P'''.
# Konstruiere auf der Hilfslinie '''g''' die Strecke '''{{Overline|PQ}}''', sie ist ein Drittel der Strecke '''{{Overline|OP}}'''.
# Zeichne einen Kreis um den Punkt '''Q''' mit dem Radius '''{{Overline|OP}}''', es ergibt sich auf dem Kreisbogen '''MON''' der Schnittpunkt '''R'''.
# Verbinde den Punkt '''R''' mit dem Punkt '''M''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''A''' auf dem Umkreis des entstehenden Neunecks. 
# Verbinde den Punkt '''A''' mit dem Punkt '''B''', es ergibt sich die erste Seite des entstehenden Neunecks.
# Trage die Strecke '''{{Overline|AB}}''' siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
#Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck '''ABCDEFGHI'''.

==== Fehler der ersten Seite ====
{{Formel|1.0 &nbsp;<math>Absoluter \; Fehler \;von\; \overline{AB}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math> \overline{AB}\approx \;r\cdot\;0{,}684040286737349\;[LE]\;(aus \; 8.2\; der\; Berechnung)</math>}}}}
{{Formel|1.1 &nbsp;<math> Neuneckseite, \; s = r \cdot 2 \cdot \sin \left( \frac{180^\circ}{9} \right) \approx  \;r\cdot\;0{,}684040286651337 \;[LE]</math>}}
{{Formel|1.2 &nbsp;<math> Fehler\;absolut,\; F_a = \overline{AB} - s = r \cdot 0{,}00000000008601... \approx \;r \cdot\;8,6E-11 \;[LE]</math>}}
 
==== Beispiel zur Verdeutlichung ====
Bei einem Umkreisradius r = 100.000 km wäre der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm.

=== Konstruktion bei gegebener Seite ===
# Zeichne eine frei wählbare Strecke '''{{Overline|MJ}}'''.
# Konstruiere über und mittels der Strecke  '''{{Overline|MJ}}''' ein gleichseitiges Dreieck und bezeichne den dritten Eckpunkt mit '''K'''.
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{JMK}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>1</sub>'''.
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{JMW_1}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>2</sub>''', mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke '''{{Overline|MJ}}'''. 
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{W_2MW_1}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>3</sub>''', etwas länger als die Strecke '''{{Overline|MJ}}'''. 
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{W_2MW_3}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>4</sub>''', mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende '''W<sub>3</sub>'''. 
# Zeichne den Kreisbogen '''b''' um den Punkt '''M''', ab dem Punkt '''K''' bis zur Winkelhalbierende '''W<sub>4</sub>''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''O''' auf '''W<sub>4</sub>''' und der Schnittpunkt '''N''' auf '''W<sub>3</sub>'''.
# Zeichne eine gerade Hilfslinie '''g''' die über den Punkt '''O''' den Punkt '''N''' anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte '''O''' und '''N''' angelegt), aber nur bis zum Punkt '''O''' verläuft. Somit ist zwischen den Punkten '''O''' und '''N''' keine gerade Hilfslinie '''g''' und der Kreisbogen '''MON''' für den späteren Schnittpunkt '''R''' frei zugänglich. 
# Zeichne einen Halbkreis um den Punkt '''O''' mit dem Radius '''|{{Overline|NO}}|''', es ergibt sich auf der Hilfslinie '''g''' der Schnittpunkt '''P'''.
# Konstruiere auf der Hilfslinie '''g''' die Strecke '''{{Overline|PQ}}''', sie ist ein Drittel der Strecke '''{{Overline|OP}}'''.
# Zeichne einen Kreis um den Punkt '''Q''' mit dem Radius '''{{Overline|OP}}''', es ergibt sich auf dem Kreisbogen '''MON''' der Schnittpunkt '''R'''.
# Verbinde den Punkt '''R''' mit dem Punkt '''M'''.
# Konstruiere vom Winkel <small><math>\angle{RMK}</math></small> die Winkelhalbierende '''W<sub>5</sub>'''.
# Zeichne auf der Winkelhalbierenden '''W<sub>5</sub>''' einen Kreis um den in der Lage frei wählbaren Punkt '''T''' mit einem Radius, der gleich der halben gegebenen Neuneckseite ist.
# Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierende '''W<sub>5</sub>''' durch den Punkt '''T''', es ergibt sich auf dem Kreis um Punkt '''T''' der Schnittpunkt '''V'''.
# Konstruiere eine Parallele zur Winkelhalbierende '''W<sub>5</sub>''' ab dem Punkt '''V''' bis zur Strecke '''{{Overline|MK}}''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''B'''. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
# Zeichne um den Punkt '''M''' einen Kreis durch den Punkt '''B''', es ist der Umkreis des entstehenden Neunecks. Es ergibt sich der Schnittpunkt '''A''' auf der Strecke '''{{Overline|MR}}'''.
# Verbinde den Punkt '''A''' mit dem Punkt '''B''', dies ist die erste Seite des entstehenden Neunecks.
# Trage die Strecke '''{{Overline|AB}}''' siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
# Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck '''ABCDEFGHI'''.

==== Fehler des Umkreisradius ====
{{Formel|2.0 &nbsp;<math>Absoluter \; Fehler\;von\; \overline{MS} = r</math>}}
{{--|Gegeben:}} 
:{{Formel| &nbsp;<math>s_1 = 1{,}0 \;[LE]\;(aus \; 9.0\; der\; Berechnung)</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>r_k \approx 1{,}461902199897722\;[LE]\;(aus \;9.1\; der\; Berechnung)</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>\;r \approx 1{,}461902200081543\;[LE]\;(aus \;10.1\; der\; Berechnung)</math>}}
{{Formel|'''2.1''' &nbsp; <math> Fehler\;absolut,\; F_a = r_k - r = -0{,}000000000183821\ldots  \approx -1{,}8E-10 \;[LE]</math>}}

==== Beispiel zur Verdeutlichung ====
Bei einer Seitenlänge s<sub>1</sub> = 10.000 km wäre der konstruierte Umfangsradius r ≈ 14.629,0219989 km um ca. 1,8 mm zu kurz.

== Berechnung ==
===Kreissektor mit gleichseitigem Dreieck MJK===
[[File:01-Neuneck-3-Berechnungsskizze.svg|700px|rechts|01-Neuneck-3-Berechnungsskizze]]
{{Formel|1.0 &nbsp;<math>Kreisssektor\; und \;\triangle{MJK}</math>}}
{{--|Gegeben aus Zeichnung:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{MS} = Umkreisradius \;r = 1 [LE] </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{MJ} = \overline{JK} = \overline{KM} = \overline{MN} = \overline{MO} = 2r </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{MKJ} = \alpha = 60^\circ </math>}}}} 
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JML} = \gamma = 30^\circ </math>}}}} 
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMw_2} = \delta = 15^\circ </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMN} = \epsilon = \frac{1}{2}\cdot\left(\gamma + \delta \right) = 22,5^\circ </math>}}}}  
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMO} = \zeta = \frac{1}{2}\cdot\left(\delta + \epsilon \right) = 18,75^\circ </math>}}}} 
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{OMN} = \eta = \epsilon - \zeta = 3,75^\circ </math>}}}}
{{Formel|1.1 &nbsp;<math>\overline{NO} = \overline{OP} = \overline{QR} </math>}}
{{Formel|1.2 &nbsp;<math>\overline{NO} = 4r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}130876331287104</math>}}   
{{Formel|1.3 &nbsp;<math>\overline{PQ} = \frac{4}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}043625443762368</math>}}


===Rechtwinkeliges Dreieck PNT===
{{Formel|2.0 &nbsp; <math>\triangle{PNT} </math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{--|*Der Punkt <math> U </math> liegt mittig auf der Sekante <math>\overline{NO} </math>}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{NO} = 4r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}130876331287104\; (aus \; 1.2) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{PQ} = \frac{4}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}043625443762368\; (aus \; 1.3) </math>}}}}
{{Formel|2.1 &nbsp;<math>\overline{NP} = 2 \cdot \overline{NO} = 8r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}261752662574209 </math>}}
{{Formel|2.2 &nbsp;<math>\overline{NQ} = \overline{NP} - \overline{PQ} = \frac{20}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}218127218811840 </math>}}
{{Formel|2.3 &nbsp;<math>\overline{NU} = \frac{1}{2}\cdot\overline{NO} = 2r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}065438165643552</math>}}

===Rechtwinkeliges Dreieck MNU===
{{Formel|3.0&nbsp; <math>\triangle{MNU} </math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{MN} = 2r \; (aus \; 1.0) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMN} = \epsilon = \frac{1}{2}\cdot\left(\gamma + \delta \right) = 22,5^\circ \; (aus \; 1.0) </math>}}}}  
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMO} = \zeta = \frac{1}{2}\cdot\left(\delta + \epsilon \right) = 18,75^\circ \; (aus \; 1.0)</math>}}}} 
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{OMN} = \eta = \epsilon - \zeta = 3,75^\circ \; (aus \; 1.0) </math>}}}}
{{Formel|3.1 &nbsp;<math>\angle{JMU} = \theta = \frac{1}{2}\cdot\left(\zeta + \epsilon \right) = 20,625^\circ </math>}}
{{Formel|3.2 &nbsp;<math>\angle{UMN} = \iota = \frac{1}{2}\eta = 1,875^\circ </math>}}
{{Formel|3.3 &nbsp;<math>\overline{MU} = cos\left(\iota \right)\cdot\overline{MN} = 2r \cdot cos\left(\iota \right) \approx r\cdot 1{,}998929174952731 </math>}}

===Rechtwinkeliges Dreieck MQU===
{{Formel|4.0&nbsp; <math>\triangle{MQU}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{MU} = cos\left(\iota \right)\cdot\overline{MN} = 2r \cdot cos\left(\iota \right) \approx r\cdot 1{,}998929174952731\; (aus \; 3.3) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{NP} = 8r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}261752662574209\; (aus \; 2.1) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{PQ} = \frac{4}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}043625443762368\; (aus \; 1.3) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{NU} = 2r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}065438165643552\;(aus \; 2.3) </math>}}}}
{{Formel|4.1 &nbsp;<math>\overline{UQ} = \overline{NP} - \overline{PQ} - \overline{NU} = \frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}152689053168288 </math>}}
{{Formel|4.2 &nbsp;<math>\angle{QMU} = \kappa = arctan \left(\frac{\overline{UQ}}{\overline{MU}} \right) = \frac{\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)}{2r \cdot cos\left(\iota \right)} = \frac{\frac{7}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)}{r \cdot cos\left(\iota \right)} \approx 4{,}368080079657319^\circ </math>}}
{{Formel|4.3 &nbsp;<math> \overline{MQ} = \sqrt{{\overline{MU}}^2+{\overline{UQ}}^2} =  \sqrt {\left(2r \cdot cos\left(\iota \right)\right)^2+ \left(\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right) \right)^2} = \sqrt {\left(2r \cdot cos\left(1,875^\circ \right)\right)^2+ \left(\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{3,75^\circ}{2}\right) \right)^2}\approx r \;\cdot\; 2{,}004752302264455 </math>}}

===Stumpfwinkeliges Dreieck MQR=== 
{{Formel|5.0&nbsp; <math>\triangle{MQR}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math> \overline{MQ} = \sqrt {\left(2r \cdot cos\left(\iota \right)\right)^2+ \left(\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right) \right)^2}\approx r \;\cdot\; 2{,}004752302264455\;(aus \; 4.3) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{QR} =  \overline{NO} = 4r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\approx r\cdot0{,}130876331287104\; (aus \; 1.2) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\overline{MR} = 2r \;(aus \; Zeichnung)</math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\eta = 3,75^\circ \;(aus \; 1.0) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\iota = 1,875^\circ \;(aus \; 3.2) </math>}}}}

{{--|Mit dem Kosinussatz ergibt sich:}}
{{Formel|5.1 &nbsp; <math>\angle{QMR} = \lambda = arccos \left(\frac{{\overline{MQ}}^2+{\overline{MR}}^2-{\overline{QR}}^2}{2\cdot\overline{MR}\cdot\overline{MQ}} \right) = \left(\frac {\left(2r \cdot cos\left(\iota \right)\right)^2+ \left(\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right) \right)^2 + 4r^2 - \left( 4r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right)\right)^2}{4r\cdot\sqrt {\left(2r \cdot cos\left(\iota \right)\right)^2+ \left(\frac{14}{3}r\cdot\sin\left(\frac{\eta}{2}\right) \right)^2}} \right) \Rightarrow arccos\left(\frac{4r^2\cdot\cos^2\left(1.875^\circ \right)+\frac{52}{9}r^2\cdot\sin^2\left( \frac{3.75^\circ}{2}\right)+4r^2}{4r\sqrt{4r^2\cdot cos^2\left(1.875^\circ \right) + \frac{196}{9}r^2\cdot sin^2 \left(\frac{3.75^\circ}{2}\right)}} \right) \approx 3{,}743080074412935^\circ </math>}}

===Nebenwinkel JMR===
{{Formel|6.0&nbsp; <math>\angle{JMR}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMU} = \theta = \frac{1}{2}\cdot\left(\zeta + \epsilon \right) = 20,625^\circ \;(aus \; 3.1) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{QMU} = \kappa \approx 4{,}368080079657319^\circ \;(aus \; 4.2) </math>}}}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{QMR} = \lambda \approx 3{,}743080074412935^\circ \;(aus \; 5.1) </math>}}}}
{{Formel|6.1 &nbsp; <math>\angle{JMR} = \mu = \angle{JMU} - \angle{QMU} +  \angle{QMR} = \theta - \kappa + \lambda  \approx 19{,}999999994755615^\circ </math>}}

===Zentriwinkel RMK===
{{Formel|7.0&nbsp; <math>\angle{RMK}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{JMR} = \mu \approx 19{,}999999994755615^\circ \;(aus \; 6.1)</math>}}}}
{{Formel|7.1 &nbsp;<math>\angle{RMK} = \beta = 60^\circ - \mu = 60^\circ - 19{,}999999994755615^\circ \approx  40{,}000000005244385^\circ </math>}}

===Erste Seite des Neunecks===
{{Formel|8.0&nbsp; <math> \overline{AB}</math>}}
{{--|Gegeben:}}
{{-|{{Formel| &nbsp;<math>\angle{RMK} = \beta = 60^\circ - \mu \approx  40{,}000000005244385^\circ \;(aus \; 7.1)</math>}}}}
:{{Formel|8.1 &nbsp; <math> Sekante \;\overline{KR} = sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\;\cdot\; 4r = sin \left(\frac{40{,}000000005244385^\circ}{2}\right)\;\cdot\;4r \;\approx \; r\; \cdot\; 1{,}368080573474698</math>}} 
{{Formel|'''8.2''' &nbsp; <math> \mathbf{\overline{AB} = \frac{\overline{KR}}{2} = \frac{sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot 4r}{2} = sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot 2r \approx \;r \cdot 0{,}684040286737349}\;[LE]</math>}}

=== Konstruierter Umkreisradius <math>r_k</math> bei gegebener Seite s<sub>1</sub> ===
{{Formel|9.0&nbsp; <math>r_k = \overline{MS} </math>}}
{{--|Gegeben:}} 
:{{Formel| &nbsp;<math>\; s_1 = 1{,}0 \;[LE]\; zum\; Beispiel</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>\;\;\beta \approx  40{,}000000005244385^\circ \;(aus \; 7.1)</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>s_1 = sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot 2r_k \;(aus \; 8.2) </math>}}
{{Formel|'''9.1''' &nbsp; <math>\mathbf{ r_k = \frac{s_1}{2\cdot sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} = \frac{1}{2\cdot sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} \approx 1{,}461902199897722\;[LE]}</math>}}

===Umkreisradius <math>r</math> bei gegebener Seite s<sub>1</sub> ===
{{Formel|10.0&nbsp; <math>r</math>}}
{{--|Gegeben:}} 
:{{Formel| &nbsp;<math>s_1 = 1{,}0 \;[LE]\;(aus \; 9.0)</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>\;\beta = 40^\circ</math>}}
:{{Formel| &nbsp;<math>s_1 = sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot 2r </math>}}
{{Formel|'''10.1''' &nbsp;<math>\mathbf{ r = \frac{s_1}{2\cdot sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} = \frac{1}{2\cdot sin \left(\frac{40^\circ}{2}\right)} \approx 1{,}461902200081543\;[LE]}</math>}}

==Weblinks==
[[Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 1#Dreiteilung_des_Winkels_60°|Dreiteilung des Winkels 60°]] in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

[[Planimetrie/ Verschiedenes/ Dreiteilung_einer_Strecke| Drittel der Strecke]] in diesem Buch im Kapitel Verschiedenes

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Neuneck-mit-gegebener-Seite.svg Neuneck mit gegebener Seitenlänge]

{{w|Winkelhalbierende}}

{{b|Technisches_Zeichnen/_Grundkonstruktionen#Konstruktion_einer_Parallelen_durch_einen_gegebenen_Punkt_.28D.29|Konstruktion einer Parallelen durch einen gegebenen Punkt}}

{{w|Parallelität (Geometrie)|Parallele}}

{{w|Zentriwinkel|Kreiswinkel (Zentriwinkel)}}

<noinclude>{{AutoNavigation}} </noinclude>