Quelltext der Seite Mathematik: Topologie: Basen topologischer Räume: Topologie: Beweise: Basischarakterisierung

"<math> \Rightarrow </math>"<br />

Sei <math> \mathcal{B}</math> eine Basis, das heißt  <math>U=\bigcup_{i\in \mathcal{I}} B_i</math> für alle offenen Mengen <math>U</math> mit <math>B_i \in \mathcal{B}</math>. Insbesondere ist <math>X</math> offen. Also ist die erste Eigenschaft erfüllt.<br /> Seien nun <math>B,C \in \mathcal{B}</math>. Der Schnitt <math>B \cap C</math> ist offen, damit also nach Voraussetzung als Vereinigung offener Mengen darstellbar.