Quelltext der Seite Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Direkte Summe

== Direkte Summe und Dimensionsformel ==

=== Summe von Vektorräumen ===

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel= Summe von Vektorräumen
 |definition=Sei <math>V</math> ein K-Vektorraum und seien <math>U_1; \, U_2</math> Unterräume von <math>V</math>, so ist <br> <br> <math>U_1 + U_2 = \lbrace u_1 + u_2 \,| \, u_1 \in U_1; \, u_2 \in U_2 \rbrace </math> <br> <br>
<math>U_1 + U_2</math> nennt man die Summe von <math>U_1</math> und <math>U_2</math>}}

Es ist klar, dass <math>U_1 + U_2 = span( U_1 \cup U_2)</math> ist, denn du kannst sehr leicht zeigen, dass <math>U_1 + U_2 \subseteq span(U_1 \cup U_2)</math> und umgekehrt <math>span(U_1 \cup U_2) \subseteq U_1 + U_2 </math> <br>
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Lösung
 |titel=Summe von Vektorräumen
 |lösung=Ist <math>v \in U_1 + U_2</math> , dann existieren <math>u_1 \in U_1</math> und <math>u_2 \in U_2</math> mit <math>v = u_1 + u_2 \, \Rightarrow v \in span( U_1 \cup U_2)</math> und damit ist <math>U_1 + U_2 \subseteq span( U_1 \cup U_2)</math>

Ist umgekehrt <math>v \in span( U_1 \cup U_2)</math> , dann ist <math>v</math> eine Linearkombination von Vektoren aus <math>U_1 \cup U_2</math> . Diese Linearkombination kann in der Form <math>v = u_1 + u_2</math> geschrieben werden, wobei <math>u_1 = \sum_{i=1}^k \beta_i a_i; \, \beta_i \in K; \, a_i \in U_1; \, k < n</math> und <math>u_2 = \sum_{i={1}}^n \gamma_i b_i; \, \gamma_i \in K; \, b_i \in U_2</math> jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus <math>U_1</math> bzw. aus <math>U_2</math> sind. <br>
Da <math>U_1, \, U_2</math> Teilräume von <math>V</math> sind, gilt <math>u_1 \in U_1 </math> und <math>u_2 \in U_2</math> . <br>
Also gilt <math>v = u_1 + u_2 \in U_1 + U_2</math> und damit ist <math>span(U_1 \cup U_2) \subseteq U_1 + U_2</math> <br>
Damit haben wir insgesamt <math>U_1 + U_2 = span(U_1 \cup U_2)</math>
 }}

=== Direkte Summe von Vektorräumen ===

Seien <math>U_1;\, U_2</math> Unterräume des K-Vektorraums <math>\mathcal U</math> mit <math>\mathcal U = U_1 + U_2</math>

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Direkte Summe von Vektorräumen |definition=Die Summe der Vektorräume <math>U_1 + U_2</math> heißt direkt, wenn <math>U_1 \cap U_2 = \{ 0\}</math> ist. Wir notieren die direkte Summe mit <math>U_1 \oplus U_2</math>
}}

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume <math>U_1; \, U_2</math> sind die folgenden Aussagen äquivalent<ref>https://lp.uni-goettingen.de/get/text/826</ref>.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Satz über Summen von Vektorräumen
 |satz=Seien <math>U_1; \, U_2</math> Teilräume eines K-Vektorraums <math>V</math>, und sei <math>\mathcal U = U_1 + U_2</math>, dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist <math>u_1 + u_2 = 0</math> für <math>u_1 \in U_1; \, u_2 \in U_2</math> dann ist <math>u_1 = u_2 = 0</math>

2. Für jedes <math> u \in \mathcal U</math> ist die Darstellung <math> u = u_1 + u_2; \, u_1 \in U_1; \, u_2 \in U_2</math> eindeutig

3. <math>U_1 \cap U_2 = \lbrace 0 \rbrace</math> }}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis
 |titel=Bedingungen Summe von Vektorräumen
 |beweis= <math>1 \, \Rightarrow \, 2 \colon</math> <br>
Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von <math>u \in \mathcal U</math>, also <math>u= u_1 + u_2 = u'_1 + u'_2</math> mit <math>u_1;\, u'_1 \in U_1; \, u_2; \, u'_2 \in U_2</math> <br>
Wir müssen also zeigen: <math>u_1 = u'_1 \text{ und } u_2 =u'_2</math> <br>
Wegen <math>u_1 + u_2 = u'_1 + u'_2 \, \Rightarrow u_1 - u'_1 + u_2 - u'_2 = 0</math> , da aber <math>u_1 - u'_1 \in U_1;\, u_2 - u'_2 \in U_2</math> muss nach Bedingung 1 gelten <math>u_1 - u'_1 = 0 \text{ und } u_2 - u'_2 = 0</math> , damit ist aber <math>u_1 = u'_1</math> und <math>u_2 = u'_2</math>

<math>2 \, \Rightarrow \, 3 \colon</math> <br>
Sei <math>u \in U_1 \cap U_2</math>, wir müssen zeigen, dass dann <math>u = 0</math> gilt. <br>
Es ist <math>u = u + 0</math> mit <math>u \in U_1; \, 0 \in U_2</math> und <math>u = 0 + u</math> mit <math>0 \in U_1;\, u \in U_2</math> <br>
Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von <math>u</math> eindeutig und damit folgt <math>u = 0</math>

<math>3 \, \Rightarrow \, 1 \colon</math> <br>
Sei <math>u_1 + u_2 = 0</math> mit <math>u_1 \in U_1; \, u_2 \in U_2</math>; wir müssen nun zeigen <math>u_1 = u_2 = 0</math>. <br>
Da <math>u_1 + u_2 = 0 \, \Rightarrow u_1 = -u_2 \in U_2 \, \Rightarrow u_1 \in U_1 \cap U_2 \, \Rightarrow u_1 = 0</math> und damit ist auch <math>u_2 = 0</math> }}

=== Bemerkungen === 

* Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe <math>U_1 + U_2</math> die direkte (innere) Summe und schreibt dafür <math>\mathcal U = U_1 \oplus U_2</math>

* Seien <math>V; \, W</math> zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: <math>V \oplus W \colon = \lbrace (v,w) \, | \, v \in V; \, w \in W \rbrace</math>, wobei die Addition und die Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

=== Beispiel === 

Sei <math>V=\R^2</math> und <math>U_1 = \lbrace (0, r) \, | \, r \in \R \rbrace = \{0\} \times \R</math> und <math>U_2 = \lbrace (s, 0) \,|\, s\in \R \rbrace = \R \times \{0\}</math>. Dann ist <math>\R^2 = U_1 \oplus U_2 = \lbrace (s, r) , | \, r,s \in \R \rbrace</math> die direkte innere  Summe, da <math>U_1 \cap U_2 = \lbrace (0, 0) \rbrace = \{0_{\R^2}\}</math> .

Sei <math>V = \R</math> und <math>W = \R</math>. Dann ist <math>\R^2 = \{(v,w) \,| \, v,w \in \R\} = \R \oplus \R</math> die direkte äußere  Summe. Analog ist <math>\R^n = \underbrace{\R \oplus \cdots \oplus \R}_{\text{n-Summanden}}</math> eine direkte äußere  Summe.

=== Dimensionsformel ===

Die Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume <math>U_1;\, U_2</math> eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums <math>V</math> berechnen lässt.<ref>http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_lineare_algebra/06_summen_und_direkte_summen.pdf</ref>

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Dimensionsformel
 |satz=Seien <math>V,\, W</math> endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt: <br>
<math>dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V \cap W)</math>}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Lösungsweg
 |titel=Dimensionsformel |lösungsweg=Wie wir schon im Kapitel ''Durchschnitt und Vereinigung von Vektorräumen'' gesehen haben, ist <math>V \cap W</math> ein Teilvektorraum von <math>V</math> und von <math>W</math> .

 
Wir zeigen zunächst dass es eine Basis <math>\mathfrak B</math> von <math>V + W</math> gibt derart, dass <math>\{b_1, \ldots, b_n\}</math> eine Basis von <math>V \cap W; \, \{b_1, \ldots, b_n, \,v_1, \ldots, v_k\}</math> eine Basis von <math>V</math> und <math>\{b_1, \ldots, b_n, \,w_1,\ldots, w_m\,  \}</math> eine Basis von <math>W</math> ist. <math>\mathfrak B = \{b_1, \ldots , b_n,\, v_1, \ldots ,v_k, \, w_1, \ldots , w_m\}</math> ist dann eine  Basis von <math>V + W</math>. Es gilt dann <math>dim(V + W) = n + k + m ;\, dim(V \cap W) = n; \, dim V = n + k; dim W = n +m </math>, damit gilt: <math>dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V\cap W)</math> denn <math>n + k + m = n+k + n + m - n</math> . 
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis
 |titel=Dimensonsformel
 |beweis=Sei <math>dim(V\cap W) = n; \, dimV = n + k; \, dimW = n + m </math> und sei <math>\{b_1, \ldots, b_n\}</math> eine Basis von <math>V \cap W</math> . Da <math>V \cap W</math> Teilraum von <math>V</math> und Teilraum von <math>W</math> , existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren <math>v_1, \ldots, v_k \in V </math> und Vektoren <math>w_1,\, \ldots , w_m \in W</math> , derart dass <math>\{b_1, \, \ldots , b_n, \, v_1, \ldots , v_k\}</math> eine Basis von <math>V</math> und <math>\{b_1, \ldots , b_n. \, w_1, \ldots w_m\}</math> eine Basis von <math>W</math> ist. <br>

Wir zeigen nun, dass <math>\mathfrak B = \{b_1, \ldots , b_n, v_1, \ldots v_k, \, w_1, \ldots w_m\}</math> eine Basis von <math>V + W</math> ist. Als erstes zeigen wir, dass <math>\mathfrak B</math> ein Erzeugendensystem ist, dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor <math>a \in V + W</math> sich als Linearkombination von Elementen aus <math>\mathfrak B</math> darstellen lässt. <br>
Sei also <math>a \in V + W</math> , damit gibt es ein <math>v \in V; \, w \in W</math> mit <math>a = v + w</math>. Da <math>v</math> eine Linearkombination der Basis <math>\{b_1, \ldots, b_n, \, v_1, \ldots, v_k \}</math> von <math>V</math> ist, also <math>v = \sum_{i=1}^n \beta_i b_i + \sum_{j=1}^k \rho_j v_j</math> und <math>w</math> eine Linearkombination der Basis <math>\{b_1, \ldots, b_n, \, w_1, \ldots, w_m \}</math> von <math>W</math> ist, also <math>w = \sum_{i=1}^n \gamma_i b_i + \sum_{j=1}^m \lambda_j w_j</math> ,<br> und damit gilt <math>\colon \text{   } a = \sum_{i=1}^n (\beta _i + \gamma_i) b_i + \sum_{J=1}^K \rho_j v_j + \sum_{l=1}^m \lambda_l w_l</math>. <br> 
Damit ist <math>a</math> Linearkombination von <math>\{b_1,\ldots , b_n, \,v_1, \ldots , v_k, \,w_1, \ldots , w_m\}</math> und 
<math>\mathfrak B</math> ein Erzeugendensystem von <math>V + W</math> .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von <math>\mathfrak B</math>

Sei <math>\sum_{i=1}^n \beta_i b_i + \sum_{j=1}^k \rho_j v_j + \sum_{l=1}^m \lambda_l w_l = 0</math> (**)

Wir setzen jetzt <math>v = \sum_{i=1}^n \beta_i b_i + \sum_{j=1}^k \rho_j v_j</math> . Dann gilt: <math>v \in V</math> und wegen (**) <math>v = - \sum_{l=1}^m \lambda_l w_l</math> . Damit ist auch <math>v \in W</math> , also <math>v \in V \cap W</math> .

Damit lässt sich <math>v</math> als Linearkombination der Basis <math>\{b_1,\ldots , b_n\}</math> von <math>V \cap W</math> darstellen und es existieren <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_n \in K</math> , derart dass <math>v = \sum_{i=1}^n \gamma_i b_i</math> .

Nun gilt weiter <math>0 = v - v = \sum_{i=1}^n (\beta_i - \gamma_i) b_i + \sum_{j=1}^k \rho_j v_j</math> .

Weil <math>\{b_1, \ldots , b_n, \, v_1, \ldots , v_k\}</math> eine Basis von <math>V</math> ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Damit gilt <math>\beta_1 = \gamma_1, \, \beta_2 = \gamma_2,  \cdots , \beta_n = \gamma_n, \, \text{ und } \rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_k = 0</math> .

Also ist <math>\sum_{i=1}^n \beta_i b_i + \sum_{l=1}^m \lambda_l w_l = 0</math> . Da <math>\{b_1, \ldots , b_n, \, w_1, \ldots , w_m\}</math> eine Basis von <math>W</math> ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt <math>\beta_1 = \beta_2 = \, \cdots \, = \beta _n = 0; \text { und } \lambda_1 = \lambda_2 = \, \cdots \, = \lambda_m = 0</math> .
Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren  <math>\{b_1, \ldots, b_n, \, v_1, \ldots , v_k, \, w_1, \ldots , w_m\}</math> sind linear unabhängig.

Damit gilt nun <math>dim(V + W) = n + k + m ;\, dim(V \cap W) = n; \, dim V = n + k; dim W = n +m </math>, also ist: <math>dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V\cap W)</math> denn <math>n + k + m = n+k + n + m - n</math> .
}}