Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Direkte Summe

Direkte Summe und Dimensionsformel

Summe von Vektorräumen

Es ist klar, dass $U_1+U_2=span(U_1\cup U_2)$ ist, denn du kannst sehr leicht zeigen, dass $U_1+U_2\subseteq span(U_1\cup U_2)$ und umgekehrt $span(U_1\cup U_2)\subseteq U_1+U_2$
Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Lösung

Direkte Summe von Vektorräumen

Seien $U_1;U_2$ Unterräume des K-Vektorraums $𝒰$ mit $𝒰=U_1+U_2$

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume $U_1;U_2$ sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Bemerkungen

• Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe $U_1+U_2$ die direkte (innere) Summe und schreibt dafür $𝒰=U_1\oplus U_2$

• Seien $V;W$ zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: $V\oplus W:=\{(v,w)|v\in V;w\in W\}$, wobei die Addition und die Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Beispiel

Sei $V={ℝ}^2$ und $U_1=\{(0,r)|r\in ℝ\}=\{0\}\times ℝ$ und $U_2=\{(s,0)|s\in ℝ\}=ℝ\times \{0\}$. Dann ist ${ℝ}^2=U_1\oplus U_2=\{(s,r),|r,s\in ℝ\}$ die direkte innere Summe, da $U_1\cap U_2=\{(0,0)\}=\{0_{{ℝ}^2}\}$ .

Sei $V=ℝ$ und $W=ℝ$. Dann ist ${ℝ}^2=\{(v,w)|v,w\in ℝ\}=ℝ\oplus ℝ$ die direkte äußere Summe. Analog ist ${ℝ}^n=\underset{\text{n-Summanden}}{\underbrace{ℝ\oplus \cdots \oplus ℝ}}$ eine direkte äußere Summe.

Dimensionsformel

Die Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume $U_1;U_2$ eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums $V$ berechnen lässt.