Quelltext der Seite Mathe für Nicht-Freaks: Durchschnitt von Mengen

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In diesem und im nächsten Kapitel möchten wir dir den ''Durchschnitt'' beziehungsweise die ''Vereinigung'' von Mengen vorstellen, welche in Würdigung der Arbeiten von [[w:George Boole|George Boole]] auch Boolsche Operatoren genannt werden.

== Definition ==
[[File:Schnittmenge und Vereinigungsmenge.webm|thumb|Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. ([https://www.youtube.com/watch?v=bfnO1QerU84 Youtube-Video] der [https://www.youtube.com/channel/UCdvXg_Dsks6nr036rA0jMuQ KhanAcademyDeutsch])]]
Der Durchschnitt zweier Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge <math>A</math> als auch der Menge <math>B</math> sind. Ihr Symbol ist <math>\cap</math>. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ist <math>A\cap B</math> und wird „<math>A</math> geschnitten <math>B</math>“ ausgesprochen.

Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):

[[File:Intersection of sets A and B.svg|200px|zentriert|Schnittmenge zweier Mengen]]

Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol <math>\cap</math> des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion <math>\land</math>, also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn <math>A \cap B</math> bezeichnet alle Objekte, die Elemente von <math>A</math> ''und'' <math>B</math> sind. Die Verknüpfung <math>\cap</math> wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion <math>\land</math> definiert. Es ist nämlich

{{Formel|<math>A\cap B = \{ x \, | \, x \in A \land x \in B \}</math>}}

Obige Formel mit Erklärungen:

{{Formel|<math>\underbrace{\underset{}{}A \cap B}_\text{A geschnitten mit B}
\underbrace{\underset{}{}=}_\text{ist}
\underbrace{\underset{}{}\{ x \, | \,}_{\text{die Menge aller }x\text{ für die gilt:}}
\underbrace{\underset{}{}x \in A}_\text{x ist Element von A}
\underbrace{\underset{}{}\land}_\text{und}
\underbrace{\underset{}{}x \in B}_\text{x ist Element von B}
\}</math>}}

Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Durchschnitt
 |definition=Der Durchschnitt <math>A\cap B</math> ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von <math>A</math> als auch von <math>B</math> sind:

{{Formel|<math>A\cap B := \{x\,|\,x\in A \land x\in B\} </math>}}}}

[[File:Venn 0000 0001.svg|thumb|Durchschnitt dreier Mengen]]
Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet <math>A\cap B\cap C</math> die Menge aller Objekte, die sowohl in <math>A</math> als auch in <math>B</math> und in <math>C</math> enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst <math>A\cap B</math> bestimmt wird, welche dann wiederum mit <math>C</math> geschnitten wird. Es ist also

{{Formel|<math>A\cap B\cap C := (A\cap B) \cap C</math>}}

Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Impliziert <math>A\cap B=A\cap C</math> die Gleichheit von B und C?
 |antwort=
Nein. Betrachte zum Beispiel <math>A=\left \{ 1 \right \}</math>,  <math>B=\left \{ 1,2 \right \}</math> und <math>C=\left \{ 1, 3 \right \}</math>. Es ist <math>A \cap B = \{ 1 \} = A \cap C</math>, aber es ist <math>B \neq C</math>.
}}

== Beispiele ==
Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Durchschnitt
 |beispiel=
# <math> \{2, 4, 5, 9\} \cap \{1,3,5,7,12\} = \{ 5 \}</math>
# <math>\{3, 12, 18\} \cap \{ 3,4,12,16,18\} = \{ 3,12,18\} </math>
# <math>\Z \cap \Q^{+} = \N</math>
# <math>\{ x\,|\,x \text{ ist gerade}\} \cap \{ x\,|\,x\text{ ist ungerade}\} = \emptyset</math>

Erklärungen:

* ''Beispiel 1:'' <math>5</math> ist die einzige Zahl, die Element sowohl der linken als auch der rechten Menge ist.
* ''Beispiel 2:'' Die erste Menge ist eine Teilmenge der zweiten Menge. Damit ist die Schnittmenge gleich der ersten Menge.
* ''Beispiel 3:'' Eine ganze Zahl, die auch eine positive rationale Zahl ist, muss eine natürliche Zahl sein. Umgekehrt sind alle natürlichen Zahlen sowohl ganze Zahlen als auch positive rationale Zahlen.
* ''Beispiel 4:'' Es gibt keine Zahl, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Der Schnitt muss also leer sein.}}

Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:

<gallery widths="200" heights="200">
Datei:PolygonsSetIntersection.svg|Durchschnitt zweier Polygonmengen
Datei:Venn diagram gr la ru.svg|Der Durchschnitt des griechischen, kyrillischen und lateinischen Alphabets sind die Buchstaben O, T, H, P, M, A, B, X, K, Y und E
</gallery>

== Durchschnittsmenge bilden ==
=== Schnittmenge von zwei endlichen Mengen ===
Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen <math>A=\{ 3, 6, 9 \}</math> und <math>B=\{ 2, 3, 5, 9\}</math>. Um den Durchschnitt <math>A\cap B</math> zu bilden, gehst du alle Elemente von <math>A</math> durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von <math>B</math> sind:

{{Formel|<math>\begin{align}
A&=\{ {\color{OliveGreen}3}, 6, {\color{BurntOrange}9} \} \\[0.3em]
B&=\{ 2, {\color{OliveGreen}3}, 5, {\color{BurntOrange}9}\}
\end{align}</math>}}

Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von <math>A \cap B</math>:

{{Formel|<math>A \cap B = \{ {\color{OliveGreen}3}, {\color{BurntOrange}9} \}</math>}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |einrückung=nein
 |typ=Verständnisaufgabe
 |frage=Bilde folgende Mengen
* <math>\{ 3, -1, 0, \pi \} \cap \{ \pi, 1, 42, 3 \}</math>
* <math>\{ 1, 0, -1\} \cap \{ 1, 0, -1\}</math>
* <math>\varnothing \cap \{ 2, 3, 4 \}</math>
* <math>\varnothing \cap \varnothing</math>

 |antwort=
Lösungen:

* <math>\{ 3, -1, 0, \pi \} \cap \{ \pi, 1, 42, 3 \} = \{3, \pi \}</math>
* <math>\{ 1, 0, -1\} \cap \{ 1, 0, -1\} = \{ 1, 0, -1\}</math>
* <math>\varnothing \cap \{ 2, 3, 4 \} = \varnothing</math>
* <math>\varnothing \cap \varnothing=\varnothing</math>}}

=== Schnittmenge von mehreren endlichen Mengen ===
Stell dir nun vor, dass zusätzlich <math>C=\{7,8,9\}</math> definiert ist und man <math>A\cap B \cap C</math> bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst <math>A\cap B</math>, was nach obigen Abschnitt gleich <math>\{3,9\}</math> ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen <math>A\cap B</math> und <math>C</math> wie wir es bereits oben gemacht haben:

{{Formel|<math>\begin{align}
A\cap B&=\{ 3, {\color{BurntOrange}9} \} \\[0.3em]
C&=\{ 7, 8, {\color{BurntOrange}9}\}
\end{align}</math>}}

Man erhält das Ergebnis:

{{Formel|<math>A\cap B\cap C = \{ {\color{BurntOrange}9} \}</math>}}

=== Unendliche Schnittmengen ===
Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:

* Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen? 
* Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften? 
* Kann es solche Objekte überhaupt geben? 
* Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge? 
* Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie <math>\N</math> oder <math>\Q^{+}</math>?

Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisaufgabe
 |frage=Bilde folgende Mengen
* <math>[-1,3] \cap [2,5]</math> (Durchschnitt zweier Intervalle aus <math>\R</math>)
* <math>\Q^{+} \cap \Z</math>
* <math>\Q^{-} \cap \N</math>

 |antwort=
Lösungen:

* <math>[-1,3] \cap [2,5] = [2,3]</math>
* <math>\Q^{+} \cap \Z = \N</math>
* <math>\Q^{-} \cap \N = \emptyset</math>
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Diskussion
 |frage=Was ist <math>\mathcal P(\N) \cap \N</math> ?

 |antwort=Es gibt (mindestens) zwei mögliche Antworten:
* Wenn die natürlichen Zahlen ''keine'' Mengen sind, gilt: <math>\mathcal P(\N) \cap \N = \varnothing</math>, denn die Potenzmenge <math>\mathcal P(\N)</math> enthält nur Mengen.
* Anders dagegen verhält es sich wenn die natürlichen Zahlen nach John von Neumann definiert werden, wie im Kapitel [[Mathe für Nicht-Freaks: Axiomatische Mengenlehre|"Axiomatische Mengenlehre"]] beschrieben. Dann ist jede natürliche Zahl die Menge seiner Vorgänger und es gilt <math>\N \subseteq \mathcal P(\N)</math> und daraus folgt: <math>\mathcal P(\N) \cap \N = \N</math>.
}}

== Eigenschaften der Schnittmenge ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Eigenschaften der Schnittmenge
 |satz=
# <math>A \cap B = B \cap A</math> (Kommutativgesetz)
# <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) </math> (Assoziativgesetz)
# <math>A\cap A = A</math> (Idempotenz)
# <math>A\cap\mathcal{V} = A</math> (Neutralität der Allklasse)
# <math>A \cap \varnothing = \varnothing</math>

 | erklärung=Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden [[Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik|Gesetze der Logik]] zurückführen.
 |beweis=

{{Liste
 |type=ol

 |item1=Es ist

{{Formel|<math>\begin{align}
    & A \cap B \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \, \land \, x  \in B\} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Kommutativit \ddot at \; von \; \land}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in B \, \land \, x  \in A\} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & B \cap A
\end{align}</math>}}

 |item2=Es ist

{{Formel|<math>\begin{align} 
    & (A \cap B) \cap C  \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in \{ y \, | \, y \in A \, \land \, y \in B\} \land x \in C \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Abstraktionsprinzip \; f \ddot ur \;} x \in \{ y \, | \, y \in A \, \land \, y \in B \}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, (x \in A \, \land \, x \in B) \land x \in C \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Assoziativit \ddot at \; von \; \land}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \, \land \, (x \in B \land x \in C) \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Abstraktionsprinzip \; f \ddot ur \;} x \in \{ y \, | \, y \in B \, \land \, y \in C \}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \, \land \, x \in \{ y \, | \, y \in B \land y \in C \} \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & A \cap (B \cap C)
\end{align}</math>}} 

 |item3=Es ist

{{Formel|<math>\begin{align} 
    & A \cap A & \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \land x \in A \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Idempotenz \; von \; \land}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Extensionalit \ddot atsprinzip}\right.} \\[0.3em]
=\; & A  
\end{align}</math>}} 

 |item4=Es ist

{{Formel|<math>\begin{align} 
    & A \cap \mathcal{V} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \land x \in \mathcal{V} \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \mathcal{V}}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \land x = x \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Eigenschaft \; von \; \land}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Extensionalit \ddot atsprinzip}\right.} \\[0.3em]
=\; & A  
\end{align}</math>}} 

 |item5=Es ist

{{Formel|<math>\begin{align} 
    & A \cap \varnothing \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \cap}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \land x \in \varnothing \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \varnothing}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \in A \land x \ne x \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Eigenschaft \; von \; \land}\right.} \\[0.3em]
=\; & \{ x \, | \, x \ne x \} \\[0.3em]
    & {\color{OliveGreen} \left\updownarrow\ \mathsf{Definition \; von \; \varnothing}\right.} \\[0.3em]
=\; & \varnothing 
\end{align}</math>}} 
}}}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Warum gilt: <math>A \cap B \subseteq A</math> und <math>A \cap B \subseteq B</math>
 |hinweis=Nutze die Definition von <math>\cap</math> und das Abstraktionsprinzip von Mengen.
 |antwort=
Sei <math>x \in A \cap B</math> beliebig. Dann gilt <math>x \in \{ y \, | \, y \in A \land y \in B \}</math>. Mit dem Abstraktionsprinzip folgt <math>x \in A \land x \in B</math>, also gelten <math>x \in A</math> und <math>x \in B</math>. Das zeigt die Teilmengenbeziehung. 
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Es gelte: <math>A \cap B = A</math>. Was folgt für das Verhältnis zwischen <math>A</math> und <math>B</math>?
 |antwort=
Es gilt <math>A \subseteq B</math>. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich <math>A = A \cap B \subseteq B</math>
}}

==Großer Durchschnitt {{Anker|Großer_Durchschnitt}}==
Bisher haben wir den Durchschnitt von ''zwei'' Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge <math>M</math>, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in ''allen '' Elementen von <math>M</math> enthalten sind.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Durchschnitt über <math>M</math>
 |beispiel=
Sei <math>M := \, \{ A, B, C, D \}</math> mit

{{Formel|<math>\begin{align}
A &:= \{1,{\color{OliveGreen}2},3,{\color{OliveGreen}4},5\} \\
B &:= \{{\color{OliveGreen}2},{\color{OliveGreen}4},7\} \\
C &:= \{0,{\color{OliveGreen}2},{\color{OliveGreen}4},7,9\} \\
D &:= \{{\color{OliveGreen}2},3,{\color{OliveGreen}4},8\}
\end{align}</math>}}

Dann ist der Durchschnitt über <math>M</math> die Menge <math>\{ {\color{OliveGreen}2}, {\color{OliveGreen}4} \}</math>.
}}

Besteht <math>M</math> aus den zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math>, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade <math>A \cap B</math>. Der "kleine" Durchschnitt <math>\cap</math> ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts <math>\bigcap</math>.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Großer Durchschnitt
 |definition=Der Durchschnitt über der Menge <math>M</math> ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von <math>M</math> sind:

{{Formel|<math>\bigcap M := \{x\,|\, \forall y \in M : x \in y \}</math>}}}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisaufgabe
 |frage=Beweise für zwei beliebige Mengen <math>A</math> und <math>B</math>: <math>\; \bigcap \{ A, B \} = A \cap B</math>.
 |antwort= 

{{Formel|<math>\begin{align}
& x \in \bigcap \{ A, B \} \\[0.3em]
& {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von } \bigcap \right.} \\[0.3em]
\iff & \forall y \in \{ A, B \} : x \in y \\[0.3em]
& {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \{ A, B \} \text{ hat nur zwei Elemente} \right.} \\[0.3em]
\iff & x \in A \land x \in B \\[0.3em]
& {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von } \cap \right.} \\[0.3em]
\iff & x \in A \cap B
\end{align}</math>}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Sonderfälle
 |frage=Zur Erinnerung: <math>\varnothing := \{ x \, | \, x \ne x \}</math> ist die leere Menge, <math>\mathcal{V} := \{ x \, | \, x = x \}</math> die Allklasse, vgl. Kapitel [[Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse|"Leere Menge und Allklasse"]]. Was ist
# <math>\bigcap \varnothing</math>
# <math>\bigcap \mathcal{V}</math>
 |antwort=Antwort:
# <math>\bigcap \varnothing = \mathcal{V}</math>. Wir halten uns genau an die Definition von <math>\bigcap</math> und erhalten: <math>\bigcap \varnothing = \{ x \, | \, \forall y \in \varnothing : x \in y \} = \{ x \, | \, \forall y : y \in \varnothing \Rightarrow x \in y \} = \dotsc</math>. Die Prämisse <math>y \in \varnothing</math> der Implikation ist immer falsch, die Implikation selbst also wahr und damit auch die Allaussage. Deswegen können wir die Allaussage durch <math>x = x</math> ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: <math>\dotsc = \{ x \, | \, x = x \} = \mathcal{V}</math>.
# Das können wir ohne weitere Voraussetzungen nicht beantworten, da wir ja nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen! In der Regel wird aber die leere Menge selbst dazugehören und dann ist der Durchschnitt ebenfalls leer. Auch wenn gar keine Mengen zu <math>\mathcal{V}</math> gehören gilt <math>\bigcap \mathcal{V} = \varnothing</math>.
}}

=== Notation ===
In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich. 

{{Formel|<math>\bigcap_{A \in M} A</math> ist genau dasselbe wie <math>\bigcap M</math>.}}

<math>A</math> ist eine Variable und steht für die Elemente von <math>M</math>. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in <math>y</math>: <math>\bigcap_{y \in M} y</math>. Entscheidend ist die Menge <math>M</math>, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge <math>M</math> indiziert sind, also <math>M = \{ A_1, A_2, A_3, \dotsc , A_i, \dotsc \}</math>, mit <math>i \in I</math>, ist auch die folgende Schreibweise üblich: <math>\; \bigcap_{i \in I} A_i</math>.

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}