Quelltext der Seite Beweisarchiv: Lineare Algebra: Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

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{{Überschriftensimulation 2|Jeder Vektorraum hat eine Basis}}
=== Voraussetzungen ===

Wir setzen ZFC voraus und verwenden das Auswahlaxiom in Form des Lemmas von Zorn. Weiter sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum.

=== Behauptung ===

<math>V</math> besitzt eine Basis.

=== Beweis ===

Basen sind maximale, linear unabhängige Teilmengen eines Vektorraums, wir betrachten also die Menge
:<math> U = \{X \subseteq V | X \text{ ist linear unabhängig} \} \subseteq P (V). </math>
Weil die leere Menge immer linear unabhängig ist, gilt <math> \varnothing \in U </math> und <math>U</math> ist nicht leer. Um das Lemma von Zorn anwenden zu können, muss eine Halbordnung auf <math>U</math> definiert werden. Die Inklusion <math>\subseteq</math> ist eine solche. Sei nun <math> B </math> eine Kette in <math>U</math>. Zu zeigen ist, dass <math>U</math> eine obere Schranke besitzt, also eine Menge, die alle Mengen von <math>B</math> enthält. <math>B</math> habe die Gestalt 
:<math> B= \{ A_i | i \in I \},</math>
mit <math>I</math> als beliebige Indexmenge. Weil wir eine Menge suchen, die alle Mengen von <math>B</math> enthält, bilden wir die Vereinigung aller Mengen von <math>B</math>:
:<math>S=\bigcup _{i \in I} A_i .</math>
<math> S</math> enthält offensichtlich alle Mengen von <math>B</math>, bleibt zu zeigen, dass <math>S</math> in <math>U</math> liegt. Dazu nehmen wir an, <math>S</math> liege nicht in <math>U</math>. Dann enthält <math>S</math> <math>n</math> Vektoren, die linear abhängig sind. Betrachten wir die Gleichung
:<math> \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i =0, \quad \alpha_i \in K, v_i \in A_i .</math>
Weil <math>B</math> eine Kette ist, gilt <math>A_1 \subseteq A_2 </math> oder <math>A_2 \subseteq A_1</math>, also <math>v_1 \in A_2</math> oder <math>v_2 \in A_1</math>. Es gibt also eine linear unabhängige Menge (<math>A_1 \text{ oder }A_2</math>), die <math>v_1 \text{ und }v_2</math> enthält. Fährt man so fort, so folgt, dass <math>B</math> eine Menge enthalten muss, die alle <math>v_i</math> enthält. Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit aller Mengen in <math>B</math>. Also ist <math>S \in U</math>. Nun ist das Lemma von Zorn anwendbar: <math> U </math> besitzt also ein maximales Element, welches gerade die gesuchte Basis ist.