Quelltext der Seite Amateurfunklehrgang – Der Weg zur HB9-Lizenz/ Formelsammlung

https://www.hoefner.ch/== Formelsammlung für die Prüfung ==
Die an der Prüfung zugelassene Formelsammlung kann [https://www.bakom.admin.ch/bakom/de/home/frequenzen-antennen/funkerpruefungen/amateurfunk-pruefungen.html beim Bakom] heruntergeladen werden. An dieser Stelle sind Beispiele und Erklärungen aufgeführt. Diese dürfen an der Prüfung nicht verwendet werden.

=== Kirchhoffsche Maschenregel ===

==== Strom ====
Die Kirchhoffsche Maschenregel besagt, dass die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hinein fliessen, gleich der Summe aller Ströme ist, die aus dem Knoten hinaus fliessen.

<math>\sum I_{\text{ein}} = \sum I_{\text{aus}}</math>

Betrachten wir einen Knoten, an dem vier Widerstände <math> ( R_1, R_2, R_3, R_4 )</math> angeschlossen sind. Jeder Widerstand hat einen zugehörigen Strom <math>( I_1, I_2, I_3, I_4 )</math>.

Nach dem Ohm’schen Gesetz gilt für jeden Widerstand:

<math>I_i = {{{U_i}} \over{{R_i}}}</math>

Wenn wir annehmen, dass ein Gesamtstrom <math> ( I_{ges} ) </math> in den Knoten hineinfließt und sich auf die vier Widerstände verteilt, dann gilt:

<math>I_{\text{ges}} = {I_1 + I_2 + I_3 + I_4}</math>

Falls die Spannung <math>( U )</math>am Knoten bekannhttps://www.hoefner.ch/t ist, können wir die einzelnen Ströme durch die jeweiligen Widerstände berechnen:

<math>I_1 = \frac{U}{R_1}, \quad I_2 = \frac{U}{R_2}, \quad I_3 = \frac{U}{R_3}, \quad I_4 = \frac{U}{R_4}</math>

Die Summe der Ströme ergibt:

<math>I_\text{ges} = { \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3} + \frac{U}{R_4}}</math>

Damit zeigt die Kirchhoffsche Knotenregel, dass sich der gesamte zufliessende Strom auf die angeschlossenen Zweige aufteilt, sodass die Gesamtbilanz am Knoten immer ausgeglichen bleibt.

==== Spannung ====

Die **kirchhoffsche Maschenregel** besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche gleich null ist:

<math>\sum U = 0</math>

Wir nehmen an, dass wir ein Netzwerk von vier Widerständen <math>(R_1, R_2, R_3, R_4 )</math> in Serie und eine Spannungsquelle <math>(U)</math> haben.

Um die Spannungsverteilung über die Widerstände zu ermitteln wenden wir das Ohm’schen Gesetz an:

<math>U_i = R_i \cdot I</math>

Da es eine Reihenschaltung ist, fliesst überall derselbe Strom <math>(I)</math>.

Wenn wir entlang der geschlossenen Masche laufen, erhalten wir:

<math>U - (U_1 + U_2 + U_3 + U_4) = 0</math>

oder umgestellt:

<math>U = U_1 + U_2 + U_3 + U_4</math>

Das bedeutet, dass die angelegte Spannung <math>( U )</math> auf die vier Widerstände aufgeteilt wird.

Die Teilspannungen können wir Berechnen wenn die Widerstände bekannt sind:

<math>R_{\text{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4</math>

und der Gesamtstrom berechnen wir auch wieder mit dem Ohm'schen Gesetz:

<math>I = {{U} \over {R_{ges}}}</math>

Jetzt Lassen sich die Teilspannungen aus Gesamtstrom <math>(I)</math> und dem jeweiligen Teilwiderstand <math>(R)</math> berechnen:

<math>U_1 = R_1 \cdot I, \quad U_2 = R_2 \cdot I, \quad U_3 = R_3 \cdot I, \quad U_4 = R_4 \cdot I</math>

Und es gilt:

<math>U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = U</math>

In einer geschlossenen Schleife geht keine Spannung "verloren" – die Summe aller Spannungen über die Widerstände ergibt 0 resp. entspricht der Quellenspannung.

=== Ohmsches Gesetz ===

Das **Ohmsche Gesetz** beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung <math>(U)</math>, Strom <math>(I)</math> und Widerstand <math>( R )</math>. Es lautet:

<math>
U = R \cdot I
</math>

Je nach gesuchter Grösse kann das Gesetz umgestellt werden nach:

<math>
I = \frac{U}{R} 
</math>   <math>
R = \frac{U}{I}
</math>

===== Beispiel 1: Berechnung der Spannung <math>( U )</math> =====
Gegeben sind ein Widerstand von <math>( R = 10 \, \Omega )</math> und ein Strom von <math>( I = 2 , A )</math>.  Gesucht ist die Spannung <math>( U )</math>:

<math>
U = R \cdot I = 10 \, \Omega \cdot 2 \, A = 20 \, V
</math>

Die Spannung beträgt also 20 Volt

===== Beispiel 2: Berechnung des Widerstands <math>( R )</math> =====
Gegeben sind eine Spannung von <math>(U = 12\,V)</math> und ein Strom von <math>(I = 3\,A )</math>.  Gesucht ist der Widerstand <math>( R )</math>:

<math>R = \frac{U}{I} = \frac{12 \, V}{3 \, A} = 4 \, \Omega</math>

Der Widerstand beträgt **4 Ohm**.

===== Beispiel 3: Berechnung des Stroms <math>(I)</math> =====
Gegeben sind eine Spannung von <math>( U = 24\,V )</math> und ein Widerstand von <math>( R = 8\,\Omega )</math>. Gesucht ist der Strom <math>(I)</math>:

<math>
I=\frac{U}{R}=\frac{24\,V}{8\,\Omega} = 3\,A
</math>

Der Strom beträgt 3 Ampere.

=== Elektrische Leistung und Arbeit ===

==== Elektrische Leistung ====
Die elektrische Leistung <math>(P)</math> beschreibt die pro Zeit umgesetzte Energie in einem Stromkreis. Sie wird berechnet mit:

<math>
P = U \cdot I
</math>

Durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes <math>(U = R \cdot I </math> und <math>I = \frac{U}{R}</math> ergeben sich zwei weitere Formeln:

<math>
P = I^2 \cdot R
</math>

<math>
P = \frac{U^2}{R}
</math>

Diese Formeln zeigen verschiedene Abhängigkeiten:  

<math> P = U \cdot I </math> → Grundformel der Leistung  

<math>P = I^2 \cdot R</math> → Leistung in einem Widerstand in Abhängigkeit vom Strom  

<math>P = \frac{U^2}{R}</math> → Leistung in einem Widerstand in Abhängigkeit von der Spannung  

===== Beispiel: Verlustleistung über einem Widerstand =====
Gegeben ist ein Widerstand von <math>R = 10 \, \Omega</math> und ein Strom von <math>I = 2\, A</math>. 

Gesucht ist die Verlustleistung <math>(P)</math>:

<math>
P = I^2 \cdot R = (2 \, A)^2 \cdot 10 \, \Omega = 4 \cdot 10 = 40 \, W
</math>

Die Verlustleistung beträgt 40 Watt.

==== Elektrische Arbeit ====
Die elektrische Arbeit <math>(W)</math> gibt die in einem Verbraucher umgesetzte Energie über eine bestimmte Zeit <math>(t)</math> an:

<math>
W = P \cdot t
</math>

Da <math>P = U \cdot I</math> gilt, kann die Arbeit auch ausgedrückt werden als:

<math>
W = P \cdot t
</math>

Die Einheit der Arbeit ist Joule <math>(J)</math>, wobei <math>( 1\,J = 1\,Ws)</math> gilt.

===== Beispiel: Berechnung der Arbeit =====
Ein Gerät mit einer Leistung von <math>(P = 100 \, W)</math> läuft für <math>(t = 2)</math> Stunden. Gesucht ist die elektrische Arbeit <math>(W)</math>:

<math>
W = P \cdot t 
</math>

<math>100 \, W \cdot (2 \cdot 3600 \, s) = 100 \cdot 7200 = 720000 \, J = 720 \, kJ</math>

Die elektrische Arbeit beträgt 720 kJ oder 0,2 kWh (da <math>1 \, kWh = 3,6 \cdot 10^6 \, J </math>).
=== Effektiv- und Spitzenwerte bei sinusförmiger Wechselspannung ===

Bei einer sinusförmigen Wechselspannung schwankt die Spannung periodisch zwischen einem positiven und einem negativen Maximalwert. Die wichtigsten Grössen sind:

==== Spitzenwert (Amplitude) ====

Der Spitzenwert <math>( U_{\text{max}})</math> oder <math>( \hat{U})</math> ist der höchste Wert der Spannung im positiven oder negativen Bereich:

<math>
U(t) = U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t)
</math>

Genauso gilt für den Strom:

<math>
I(t) = I_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t)
</math>

Hierbei ist:
* <math>U_{\text{max}}</math> = maximale Spannung (Amplitude)  
* <math>I_{\text{max}}</math> = maximaler Strom (Amplitude)  
* <math>\omega = 2 \pi f</math> = Kreisfrequenz  

==== Effektivwert ====

Der Effektivwert <math>( U_{\text{eff}} \, , I_{\text{eff}} )</math> ist der Gleichspannungswert, der die gleiche Leistung in einem Widerstand erzeugen würde. Er berechnet sich aus dem Spitzenwert:

<math>
U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}}
</math>

<math>
I_{\text{eff}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}
</math>

Die Umrechnung ergibt:

<math>
U_{\text{eff}} \approx 0{,}707 \cdot U_{\text{max}}
</math>

<math>
I_{\text{eff}} \approx 0{,}707 \cdot I_{\text{max}}
</math>

In der Praxis sind Effektivwerte gebräuchlich. Beispielsweise bedeutet eine Netzspannung von 230 V Wechselspannung, dass der Effektivwert 230 V beträgt, während der Spitzenwert:

<math>
U_{\text{max}} = 230 \cdot \sqrt{2} \approx 325 \, V
</math>

ist.

==== Zusammenhang mit der Leistung ====

Die Leistung in einem Wechselstromkreis mit rein ohmscher Last wird mit den Effektivwerten berechnet:

<math>
P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}
</math>

Falls eine Phasenverschiebung <math> \varphi </math> vorhanden ist (z.B. in Spulen oder Kondensatoren), gilt:

<math>
P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \cdot \cos \varphi
</math>

wobei <math>\cos \varphi</math> der **Leistungsfaktor** ist.

==== Beispiel: Berechnung von Effektivwerten ====

Ein Sinussignal hat einen Spitzenwert von <math>U_{\text{max}} = 325 V</math>.  Gesucht ist der Effektivwert:

<math>
U_{\text{eff}} = \frac{325}{\sqrt{2}} \approx 230 \, V
</math>

Die Netzspannung hat also einen Effektivwert von 230 V, aber einen Spitzenwert von 325 V.

==== Fazit ====

* Der Spitzenwert ist der höchste Wert der Spannung oder des Stroms.
* Der Effektivwert gibt die Gleichspannung an, die dieselbe Leistung in einem Widerstand verursachen würde.
* Der Effektivwert beträgt etwa 70,7 % des Spitzenwerts.



{{Hinweis|Der Spitzenwert ist der höchste Wert der Spannung oder des Stroms.

Der Effektivwert gibt die Gleichspannung an, die dieselbe Leistung in einem Widerstand verursachen würde.

Der Effektivwert beträgt etwa 70,7 % des Spitzenwerts.rd umrahmt dargestellt.}}



{| class="wikitable"

|+

!Titel

!Schema

!Formel

!Legende

|-

|Ohmschens Gesetz

|

|<math>U=R\times I</math>

|U: Spannung [V]

R: WIderstand [Ω]

I: Strom [A]

|-

| Leistung

|

| <math>P = U \times I</math> <math>P = \frac{U^2}{R}</math>



<math>P=I^2\times R</math>

| P: Leistung [W]

R: WIderstand [Ω]

U: Spannung [V]

I: Stromstärke [A]

|-

| Arbeit

|

| <math>W = P \times t</math>

| W: Arbeit [J]

P: Leistung [W]

t: Zeit [s]

|-

| Widerstand von Drähten

|

| <math>R =  \frac{\rho \times L}{A}</math>

Hilfsformeln;

<math>A =  \frac{d^2 \times \pi}{4}</math>

<math>A = r^2 \times \pi</math>

| R: Widerstand [Ω]

ρ: spezifischer Widerstand [Ω·m]

L: Länge des Drahtes [m]

A: Querschnittsfläche [m²]

d: Drahtdurchmesser [m]

|-

| Widerstände in Reihenschaltung

|

| <math>R_{\text{ges}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n</math>



Sapnnungsteiler:



<math>\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} </math> mit <math>U_{ges} = U_1 + U_2 </math>

| R<sub>ges</sub>: Gesamtwiderstand [Ω]

R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, ..., R<sub>n</sub>: Einzelwiderstände [Ω]

U<sub>ges</sub>: Spannung über alle R [V]



U<sub>1</sub>: Spannung über R<sub>1</sub> [V]

U<sub>2</sub>: Spannung über R<sub>2</sub> [V]

|-

|Spannungsteiler, unbelastet

(nicht in Bakom Formelsammlung)

|

|<math>U_1=\frac{U_g \times R_1}{R_1+R_2}

</math>

|U<sub>1</sub>: Spannung über R1 [Ω]

U<sub>g:</sub> Gesamtspannung [V]

R: Widerstand [Ω] 

|-

| Widerstände in Parallelschaltung

|

| <math>\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}</math> <math>R_{ges} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}</math>

| R<sub>{ges}</sub>: Gesamtwiderstand [Ω]

R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, ..., R<sub>n</sub>: Einzelwiderstände [Ω]

|-

| Innenwiderstand

|

| <math>R_{i}=\frac {\Delta U}{\Delta I}</math>

| R<sub>i</sub>: Innenwiderstand einer Spannungsquelle [Ω]

|-

| Effektiv- und Spitzenwerte bei sinusförmiger Wechselspannung

|

| <math>\hat{U} =  U_{\text{eff}} \times {\sqrt{2}}  </math>

<math>U_{ss}= 2\times \hat{U}  </math>

| U<sub>eff</sub>: Effektivspannung [V]

<math>\hat U</math>: Spitzenwert der Spannung [V]

|-

| Periodendauer

|

| <math>T = \frac{1}{f}</math>

| T: Periodendauer [s]

f: Frequenz [Hz]

|-

| Kreisfrequenz

|

| <math>\omega = 2 \pi \times f</math>

| ω: Kreisfrequenz [rad/s]

f: Frequenz [Hz]

|-

| Induktiver Widerstand

|

| <math>X_L = \omega \times L</math>

| X<sub>L</sub>: Induktiver Widerstand [Ω]

ω: Kreisfrequenz [rad/s]

L: Induktivität [H]

|-

| Induktivitäten in Reihenschaltung

|

| <math>L_{ges} = L_1 + L_2 + \dots + L_n</math>

| L<sub>ges</sub>: Gesamtinduktivität [H]

L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>n</sub>: Einzelinduktivitäten [H]

|-

| Induktivitäten in Parallelschaltung

|

| <math>\frac{1}{L_{\text{ges}}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \dots + \frac{1}{L_n}</math>

| Lges: Gesamtinduktivität [H]

L1, L2, Ln: Einzelinduktivitäten [H]

|-

| Induktivität der Ringspule

|

| <math>L = \frac{\mu_0 \times \mu_r \times N^2 \times A}{l}</math>

| L: Induktivität [H]

μ<sub>0</sub>: Magnetische Feldkonstante [H/m]

μ<sub>r</sub>: Relative Permeabilität (dimensionslos)



N: Anzahl der Windungen

A: Querschnittsfläche der Spule [m²]

l: Länge des magnetischen Kreises [m]

|-

| Induktivität von Schalenkernspulen

|

| <math>L = N^2 \times A_L</math>

| L: Induktivität [H]

N: Anzahl der Windungen

A<sub>L</sub>: Induktivitätsfaktor/Kernfaktor

|-

| Magnetische Feldstärke in einer Ringspule

|

| <math>H = \frac {N \times I}{l}</math>

| H: Magnetische Feldstärke [A/m]

N: Anzahl der Windungen

I: Stromstärke [A]

l: Länge des magnetischen Kreises [m]

|-

| Magnetische Flussdichte

|

| <math>B = \mu_0 \times \mu_r \times H</math>

| B: Magnetische Flussdichte [T]

μ<sub>0</sub>: Magnetische Feldkonstante [H/m]

μ<sub>r</sub>: Relative Permeabilität (dimensionslos)



H\: Magnetische Feldstärke [A/m]

|-

| Transformator / Überträger

|

| <math>V_{\text{ges}} = V_1 + V_2 + \dots + V_n</math>

| V<sub>ges</sub>: Gesamtspannung [V]

V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub>, ..., V<sub>n</sub>: Teilspannungen [V]

|-

| Übersetzungsverhältnis

|

| <math>\ddot{u} = \frac{N_1}{N_2}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{I_1}{I_2}=\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}</math>

| ü: Übersetzungsverhältnis (dimensionslos)

N<sub>1</sub>: Anzahl der Windungen der Primärspule

N<sub>2</sub>: Anzahl der Windungen der Sekundärspule



U<sub>1</sub>: Spannung an der Primärspule [V]

U<sub>2</sub>: Spannung an der Sekundärspule [V]



I<sub>1</sub>: Strom in der Primärspule [I]

I<sub>2</sub>: Strom in der Sekundärspule [I]



Z<sub>1</sub>: Impedanz der Primärspule [Ω]

Z<sub>2</sub>: Impedanz der Sekundärspule [Ω]

|-

| Netztrafo

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| <math>P_p\approx 1.2 \times P_s</math><math>A_{fe}\approx\sqrt{P_p}  \times \frac{cm^2}{\sqrt{W}}</math>

<math>N_v\approx\frac{42}{A_{Fe}}\times\frac{cm^2}{V}</math>

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|Messbereichserweiterung U

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|Messbereichserweiterung I

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|Widerstandsbrücke

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|Spezifischer Widerstand

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|Vorwiderstand Lampe

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|Impedanz

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|<math>Z=2\pi f L</math>

|Z: Impedanz [Ω]



π: Konstante, 3,14159



f: Frequenz [Hz]



L: Induktivität [H]

|}