Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume

Linearkombinationen

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren $(v_i{)}_{i\in I}$ aus einem Vektorraum $V$, wobei $I$ eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor $u$ in $V$, also ist $u=\sum _{i\in I}{\lambda }_i\cdot v_i$ für ${\lambda }_i\in K$. Wir für ein solches $u\in V$ sagen wir mit $u$ ist eine Linearkombination der Vektoren $(v_i{)}_{i\in I}$.

Beispiele

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, also ist $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ eine Linearkombination von $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}0,5\\ 1\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$, also ist $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ eine Linearkombination von $\left(\begin{array}{c}0,5\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}0,5\\ 0\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$, da es kein $\lambda ,\mu \in K$ gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ keine Linearkombination von $\left(\begin{array}{c}0,5\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$.

Der Spann / Das Erzeugnis

Haben wir nun Vektoren $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache: $<v_1,v_2,\dots ,v_n>$ ist das Erzeugnis und $span(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ der Spann.

Satz: $<v_1,v_2,\dots ,v_n>$ ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

Beweis

1. $0=\sum _{i=0}^{n}0\cdot v_i\in <v_1,v_2,\dots ,v_n>$

2. Seien $u,v\in <v_1,v_2,\dots ,v_n>$ und $\lambda ,\mu \in K$ so ist trivialerweise : $\lambda \cdot u+\mu \cdot v\in V$.

Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.

Unterräume

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von $V$ induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

• $0\in U$ und
• für alle $u,v\in U$ auch $u+v\in U$ und
• für alle $\lambda \in K$ und alle $u\in U$ auch $\lambda \cdot u\in U$

gilt. Wobei man die Letzteren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

• für alle $u,v\in U,\lambda ,\mu \in K$ gilt : $\lambda \cdot u+\mu \cdot v\in U$

Beispiele

Kanonischer Unterraum

Sei $V=K^n$ so ist jeder $K_i^n$ mit $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ mit $x_i=0$ ein Untervektorraum.

Gerade und Ebene

Sei $V=R^3$ ein Vektorraum. So ist eine Ebene $E$ die Menge alle Vektoren der Form $v=\lambda \cdot w+\mu \cdot u$ für zwei eindeutige Vektoren $u,w\in V$ und für alle $\lambda ,\mu \in K$.

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form $v=\lambda \cdot w$ für ein eindeutigen Vektor $u\in V$ und für alle $\lambda \in K$.

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von $V$ sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.