Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung

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Definition der Verknüpfung

Verknüpfungen sind dir bereits aus der Schule bekannt. Beispiele hierfür sind Addition und Multiplikation. Diese Verknüpfungen können wir als spezielle Abbildungen betrachten. Schauen wir uns dazu als Beispiel die Verknüpfung der Addition auf den reellen Zahlen genauer an:

Die Addition verknüpft zwei Zahlen $x$ und $y$ zu einer neuen Zahl $x+y$. Wir können somit die Addition als Abbildung vom ${ℝ}^2$ nach $ℝ$ auffassen. (Wiederholung: ${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$ ist die Menge aller geordneter Paare $(x,y)$ mit $x\in ℝ$ und $y\in ℝ$). Der Definitionsbereich ist ${ℝ}^2$, weil bei der Addition zwei reelle Zahlen miteinander verknüpft werden. Die Zielmenge ist $ℝ$, da das Ergebnis der Addition zweier reeller Zahlen wieder eine reelle Zahl ist. Damit ist die Addition eine Abbildung $+:{ℝ}^2\to ℝ:(x,y)\mapsto x+y$. Analog lässt sich auch die Multiplikation als Abbildung von ${ℝ}^2$ nach $ℝ$ mit der Zuordnungsvorschrift $(x,y)\mapsto x\cdot y$ auffassen.

Das obige Beispiel können wir nun verallgemeinern. Statt $ℝ$ betrachten wir jetzt irgendeine Grundmenge $A$. Die Addition ist eine Verknüpfung, die zwei Objekte zu einem neuen Objekt der Grundmenge verknüpft - wir wollen jetzt aber den allgemeineren Fall betrachten, dass eine Verknüpfung $n$ Objekte zu einem neuen Objekt verknüpft. Analog zu unserem Beispiel ist dann eine solche Verknüpfung eine Abbildung $A^n\to A$, welche auch $n$-stellige Verknüpfung genannt wird. Ein Synonym für das Wort „Verknüpfung“ ist der Begriff „Operation“

Binäre Verknüpfungen

Für zweistellige Verknüpfungen wird auch der Begriff binäre Verknüpfung gebraucht:

Betrachten wir eine binäre Verknüpfung $\circ$ auf einer Grundmenge $A$. Damit lässt sich $\circ$ als eine Abbildung $A^2\to A$ auffassen. Du kannst dir $\circ$ als eine Maschine vorstellen, die zwei Elemente $x$ und $y$ aus der Menge $A$ nimmt und daraus ein Element $x\circ y$ aus $A$ erzeugt:

Binäre Verknüpfungen dargestellt als Maschine

Für binäre Verknüpfungen wird oft die Schreibweise $x\circ y$ verwendet. Hier steht $\circ$ stellvertretend für eine beliebige Verknüpfung wie die Addition $+$ oder die Multiplikation $\cdot$. Diese Schreibweise sollte nicht mit der Funktionskomposition verwechselt werden, die auch das Symbol $\circ$ verwendet (Zwar ist die Funktionskomposition eine binäre Verknüpfung, aber nicht jede binäre Verknüpfung ist eine Funktionskomposition).

Eigenschaften binärer Verknüpfungen

Sei im Folgenden $\circ$ eine beliebige Verknüpfung auf einer Grundmenge $A$. Wir betrachten nun die sogenannte Kommutativität beziehungsweise Assoziativität der binären Verknüpfung.

Kommutativität

Betrachten wir die Maschinenvorstellung einer binären Verknüpfung. Bei einer binären Verknüpfung besitzt die Maschine zwei Eingänge. In diese können wir zwei Objekte $x$ und $y$ aus der Grundmenge stecken. Ein Element stecken wir links in unsere Maschine und das andere rechts:

Binäre Verknüpfungen dargestellt als Maschine

Ist die Reihenfolge, in der wir die Argumente in die Maschine stecken, egal? Kommt immer dasselbe raus, wenn wir $x$ und $y$ vertauschen?

Kommt es auf die Reihenfolge an?

Es gibt solche Verknüpfungen, bei dem die Reihenfolge der Argumente egal ist. Bei solchen Verknüpfungen ist stets $x\circ y=y\circ x$ unabhängig davon, welche Argumente $x$ und $y$ gewählt wurden. Ein Beispiel hierfür ist die Addition $+$ auf den reellen Zahlen. Für die Addition gilt nämlich stets $x+y=y+x$.

Weil diese Eigenschaft praktisch ist, bekommt sie einen eigenen Namen. Wir sprechen hier von Kommutativität beziehungsweise nennen solche Verknüpfungen kommutative Verknüpfungen. Der Begriff kommt vom lateinischen Wort commutare, was „vertauschen“ bedeutet. Es ist also:

Assoziativität Vorlage:Anker

Was passiert, wenn wir mehr als zwei Objekte miteinander verknüpfen wollen? Nehmen wir die Addition als Verknüpfung und betrachten wir die Summe $4+42+23$. Wie können wir diese Operation ausführen, wenn die Addition als zweistellige Verknüpfung definiert ist, also genau zwei Argumente zu einem Ergebnis zusammenfasst?

Hier haben wir zwei Möglichkeiten: Zum einen können wir zunächst die Summe von $4$ und $42$ bilden und dann $23$ hinzuaddieren. So berechnen wir $(4+42)+23$. Zum anderen kann zunächst $42$ und $23$ miteinander addiert werden, um danach die Summe aus $4$ und dem Ergebnis der ersten Summe zu bilden. Hier wird $4+(42+23)$ gerechnet.

So haben wir bei jeder Verknüpfung $\circ$ zwei Möglichkeiten, um $x\circ y\circ z$ zu berechnen. Zum einen kann dieser Ausdruck als $(x\circ y)\circ z$ und zum anderen als $x\circ (y\circ z)$ berechnet werden. Im folgenden Diagramm sind beide Möglichkeiten mit dem Maschinenmodell dargestellt. Dabei stellt sich die Frage: Ist es egal, welche der beiden Methoden wir verwenden? Ist das Endergebnis gleich, egal in welcher Reihenfolge die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden?

Visualisierung zur Assoziativität von Verknüpfungen

Bei der Addition ist es egal, in welcher Reihenfolge die Verknüpfungen ausgerechnet werden. So ist $(x+y)+z=x+(y+z)$ für alle reellen Zahlen $x$, $y$ und $z$. Verknüpfungen wie die Addition, bei der die Reihenfolge der Verknüpfungsausrechnung egal ist, nennt man assoziativ. Das Wort kommt vom lateinischen associare und bedeutet „vereinigen“ beziehungsweise „verbinden“.

Weil bei einer assoziativen Verknüpfung die Reihenfolge egal ist, in der die einzelnen Verknüpfungen ausgewertet werden, können wir Klammern weglassen. Dies gilt für drei und auch für mehr Operanden. Du kannst dann also statt $x\circ (y\circ z)$ oder $(x\circ y)\circ z$ auch einfach $x\circ y\circ z$ schreiben. Beachte, dass eine Schreibweise wie $x\circ y\circ z$ ohne Klammern nur dann sinnvoll ist, wenn die Verknüpfung assoziativ ist. Bei nicht assoziativen Verknüpfungen musst du immer die Klammern setzen.

Übungsaufgaben

Eigenschaften von Verknüpfungen

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