Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Eigenschaften

In diesem Kapitel werde ich dir Eigenschaften von Vektorräumen vorstellen, die direkt aus den Axiomen der Vektorräume hergeleitet werden können. Jeder Vektorraum muss also diese Eigenschaften erfüllen.

Überblick

Wir verwenden in diesem Abschnitt wieder die Operationssymbole „ $⊞$ “ und „ $⊡$ “ zur Unterscheidung der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation mit der Körperaddition „ $+$ “ und der Körpermultiplikation „ $\cdot$ “.

Wir wollen nun aus den insgesamt acht Axiomen des Vektorraums einfache Eigenschaften und Rechenregeln ableiten. Da wir in den Axiomen nur die Existenz des Nullvektors und des additiven Inversen gefordert haben, stellen sich zunächst folgende Fragen: Ist der Nullvektor eindeutig oder gibt es mehrere Nullvektoren? Ist das inverse Element der Addition eindeutig oder kann es mehrere geben? Die Antwort auf beide Fragen lautet:

In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor $0_{V} \in V$ . Es kann also nicht mehr als einen Nullvektor in einem Vektorraum geben.
Das Inverse bezüglich der Addition ist eindeutig. Zu jedem Vektor $v \in V$ gibt es also genau einen anderen Vektor $w \in V$ mit $v + w = 0$ .

Weitere Sätze, die wir im Folgenden beweisen werden, sind:

Für jedes $v \in V$ gilt: $0_{K} ⊡ v = 0_{V}$ .
Für alle $ρ \in K$ gilt: $ρ ⊡ 0_{V} = 0_{V}$ .
Aus $ρ ⊡ v = 0_{V}$ folgt, dass $ρ = 0_{K}$ oder $v = 0_{V}$ ist.
Für alle $ρ \in K$ und alle $v \in V$ gilt: $(- ρ) ⊡ v = - (ρ ⊡ v) = ρ ⊡ (- v)$ .