Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge

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Einführendes Beispiel

Datei:Teilfolgen - Einführendes Beispiel.webm Manchmal ist es notwendig, nur über eine Unterfolge einer Folge zu sprechen. Solche Unterfolgen werden in der Mathematik Teilfolge genannt. Dieser Name ist ganz intuitiv: Teilfolgen bezeichnen einen Teil einer Folge. Eine Teilfolge entsteht dadurch, dass in einer gegebenen Folge beliebige Folgenglieder entfernt werden. Beim Streichen der Folgenglieder müssen aber unendlich viele Folgenglieder übrig bleiben. Die übrig geliebenen Folgenglieder bilden dann eine Teilfolge der ursprünglichen Folge. Nehmen wir zum Beispiel die Folge $a_n=(-1{)}^n$:

Wir interessieren uns nun für die Teilfolge jedes zweiten Folgenglieds. Diese entsteht, indem wir alle Folgenglieder mit ungeradem Index streichen:

So entsteht eine Teilfolge, die konstant $1$ ist.

Mathematische Beschreibung

Datei:Teilfolgen – Erklärung der mathematischen Schreibweise.webm Wie können Teilfolgen notiert werden? Schauen wir uns zunächst die Indizes der Folgenglieder an, die in der Teilfolge enthalten sein sollen:

Jetzt suchen wir eine Folge ${\left(n_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$, die diese Indizes beschreibt. Im obigen Beispiel betrachten wir alle geraden Indizes. Also ist $n_k=2k$:

Diese Folge setzen wir in ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ein. Dadurch entsteht die Teilfolge ${\left(a_{n_k}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$:

Zunächst bilden wir also die Folge ${\left(n_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ der relevanten Indizes einer Teilfolge. Diese Teilfolge setzen wir dann in die Originalfolge ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ für $n$ ein, sodass wir die Teilfolge ${\left(a_{n_k}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ erhalten.

In unserem Beispiel ist $n_k=2k$. Wir setzen also $2k$ für $n$ in $a_n=(-1{)}^n$ ein. So erhalten wir die Teilfolge $a_{2k}=(-1{)}^{2k}=1$.

Definition

Datei:Definition von Teilfolgen.webm

Dieser Begriff ist wichtig für die Analysis, weil durch ihn Häufungspunkte charakterisiert werden können. Was Häufungspunkte genau sind, werden wir im nächsten Kapitel näher untersuchen.

Konvergenz von Teilfolgen

Für Teilfolgen gibt es den folgenden wichtigen Satz:

Aus dem obigen Satz folgt direkt:

Anwendung: Konvergenz von Mischfolgen

Im Kapitel „Beispiele und Eigenschaften von Folgen“ haben wir gesehen, wie wir aus zwei Folgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Mischfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ bilden können. Diese ist definiert als Vorlage:Einrücken Die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist also aus den beiden Teilfolgen $(a_{2n-1}{)}_{n\in \mathbb{N}}=(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(a_{2n}{)}_{n\in \mathbb{N}}=(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zusammengesetzt.

Wir stellen uns nun die Frage, wie die Konvergenz der Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit der Konvergenz der Folgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zusammenhängt. Damit $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert, müssen auf jeden Fall folgende beiden Bedingungen erfüllt sein:

• Zum einen müssen die beiden Teilfolgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren, weil wir schon wissen, dass Teilfolgen konvergenter Folgen konvergieren.
• Zum anderen müssen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen denselben Grenzwert konvergieren. Damit nämlich $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert, müssen alle ihre Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

Ist eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt, so ist die Mischfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ divergent. Doch diese beiden Bedingungen sind nicht nur notwendig, sondern auch schon hinreichend für die Konvergenz der Mischfolge! Dies werden wir nun beweisen. Der Grenzwert der Mischfolge stimmt dann mit dem Grenzwert der beiden Teilfolgen überein.

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