Mathe für Nicht-Freaks: Notwendige und hinreichende Bedingungen

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Notwendige und hinreichende Bedingungen

Comic zu hinreichenden und notwendigen Bedingungen (Comic von Patrick Wagner)

In der Mathematik ist oft von hinreichenden und notwendigen Bedingungen die Rede. Nimm an, wir haben einen Zusammenhang $A⟹B$ wie das typische Beispiel „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ gegeben. Hier ist die Prämisse $A$ eine hinreichende Bedingung für die Konklusion $B$. Dies bedeutet, dass das Auftreten von $A$ ausreichend dafür ist, dass auch $B$ auftritt. So ist bei Regen die Straße nass (Regen ist hinreichend dafür, dass die Straße nass ist). Außerdem ist die Konklusion $B$ eine notwendige Bedingung für die Prämisse $A$. Dies bedeutet, dass es für das Auftreten von $A$ zwingend erforderlich ist, dass $B$ gilt. Damit es geregnet hat, muss auf jeden Fall die Straße nass sein (eine nasse Straße ist notwendig für Regen).

Die Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingung ist für dich insbesondere bei der Beweisführung wichtig. Wenn du zum Beispiel eine Aussage beweisen möchtest, kannst du schauen, ob du für diese Aussage eine hinreichende Bedingung kennst, die du beweisen kannst. Und wenn du beweisen möchtest, dass eine gewisse Aussage nicht gilt, kannst du versuchen zu beweisen, dass eine für diese Aussage notwendige Bedingung nicht gilt. Beachte hierbei, dass viele mathematische Sätze in der Form einer Implikation formuliert sind (zum Beispiel „Wenn die Funktion $f$ an $x_0$ differenzierbar ist und dort ein Extremum besitzt, so hat $f$ an $x_0$ die Ableitung $0$“).

Verständnisfragen

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