Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium für Folgen

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In diesem Kapitel werden wir beweisen, dass monotone und beschränkte Folgen konvergieren. Wenn du also zeigen kannst, dass eine Folge beschränkt und monoton ist, dann muss diese konvergieren. Das Schöne dabei: Für diesen Beweis musst du den Grenzwert der Folge nicht kennen!

So ist dieser Satz bei Konvergenzbeweisen für rekursiv definierte Folgen hilfreich, denn bei rekursiv definierten Folgen ist eine Abschätzung des Abstands zwischen dem Grenzwert und dem Folgenglied oft schwierig.

Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen

Datei:Konvergenz beschränkter monotoner Folgen - Quatematik.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Folgerung für allgemeine Intervallschachtellungen

Wir können das Monotoniekriterium nun nutzen, um eine nützliche Folgerung für Intervallschachtellungen herzuleiten.

Zur Wiederholung: Eine allgemeine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit den Eigenschaften

1. Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:

2. Für jede reelle Zahl $ϵ>0$ gibt es ein Intervall $I_N$ mit der Breite kleiner $ϵ$:

Außerdem gilt: Zu jeder Intervallschachtellung gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.

Wir untersuchen nun die beiden "Randfolgen" der Intervallschachtellung $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

• Wegen $[a_1,b_1]\supseteq [a_2,b_2]\supseteq [a_3,b_3]\supseteq \dots \supseteq [a_n,b_n]$ gilt $a_1\le a_2\le a_3\le \dots \le a_n$, d.h. $a_{n-1}\le a_n$, und $b_1\ge b_2\ge b_3\ge \dots \ge b_n$, d.h. $b_{n-1}\ge b_n$.
• Also ist $(a_n)$ monoton steigend und $(b_n)$ monoton fallend.
• Wegen $a_n\le b_1$ und $b_n\ge a_1$ ist $(a_n)$ nach oben durch $b_1$ und $(b_n)$ nach unten durch $a_1$ beschränkt.

Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher $(a_n)$ und $(b_n)$. Mit Hilfe der zweiten Eigenschaft der Intervallschachtellung zeigen wir noch, dass die beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Der Grenzwert ist dabei gleich der reellen Zahl, die in allen Intervallen liegt.

Da $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Intervallschachtellung ist, gilt Vorlage:Einrücken

Wegen $I_{n+1}\subseteq I_n$ folgt damit auch $b_n-a_n<ϵ$ für alle $n\ge N$.

Insgesamt erhalten wir Vorlage:Einrücken Dies bedeutet nach Definition aber genau, dass $(b_n-a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge ist. Damit können wir nun mit Hilfe der Grenzwertsätze folgern, dass $(a_n)$ und $(b_n)$ gegen denselben Grenzwert konvergieren. Denn ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$, so gilt Vorlage:Einrücken Für den Grenzwert gilt nun Vorlage:Einrücken Also ist $a_n\le a\le b_n$ beziehungsweise $a\in [a_n,b_n]$. $a$ ist daher die reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wir fassen dass gerade Bewiesene noch einmal zusammen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche Zahl

Intervallschachtelung zur Berechnung der eulerschen Zahl

Betrachten wir als Beispiel die Intervallfolge $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$ und $b_n={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$.

Wir zeigen im Folgenden, dass es sich dabei um eine Intervallschachtellung handelt. Mit dem Satz aus dem vorherigen Abschnitt erhalten wir damit auch die Konvergenz der beien Folgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Zunächst einmal gilt Vorlage:Einrücken Damit ist $(I_n)=([a_n,b_n])$ wohldefiniert.

Nun müssen wir die beiden Eigenschaften einer Intervallschachtellung zeigen. Zuerst zeigen wir für alle $n\in \mathbb{N}$: $I_{n+1}\subseteq I_n$. Diese machen wir in zwei Schritten:

• $(a_n)$ ist monoton steigend, d.h. $a_{n+1}\ge a_n$. Wir zeigen dazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$ mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.

• $(b_n)$ ist monoton fallend, d.h. $b_{n+1}\le b_n$.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe Da $(a_n)$ monoton steigend und $(b_n)$ monoton fallend ist, folgt $I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]=I_n$. Somit haben wir die erste Eigenschaft einer Intervallschachtellung gezeigt.

Nun müssen wir noch zeigen Vorlage:Einrücken Dazu schätzen wir den Ausdruck $b_N-a_N$ geeignet nach oben ab. Vorlage:Einrücken Nun ist aber $a_N\le b_N\le b_1={(1+\frac{1}{1})}^2=4$, und daher Vorlage:Einrücken Nun ist $\frac{4}{N}<ϵ\iff N>\frac{4}{ϵ}$. Wählen wir also zu einem beliebigen $ϵ>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ mit $N>\frac{4}{ϵ}$, so gilt Vorlage:Einrücken Also ist $(I_n)$ tatsächlich eine Intervallschachtellung. Die in allen diesen Intervallen enthaltene Zahl heißt eulersche Zahl und wird mit $e$ bezeichnet. Mit Hilfe der Intervallschachtelung lässt sich diese beliebig genau eingrenzen, wenn auch sehr langsam. Beispielsweise ist $e\in [a_{10},b_{10}]=[2.59374246,2.85311671]$. Tatsächlich ist $e\approx 2,718281828459045$.

Mit dem Satz von oben gilt nun Vorlage:Einrücken Später werden wir noch $e=\exp (1)$ zeigen, was viele wohl aus der Schule noch wissen.

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