Mathe für Nicht-Freaks: Lim sup und Lim inf

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Der Limes superior und der Limes inferior ist der größte und der kleinste Häufungspunkt einer Folge. Diese dienen als partiellen Ersatz für den Grenzwert, wenn dieser nicht existiert.

Motivation

Der Grenzwert einer Folge ist diejenige Zahl, gegen die eine Folge im Unendlichen strebt. In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder und damit befinden sich nur endlich viele Folgenglieder außerhalb einer beliebigen Umgebung:

Außerhalb jeder Umgebung um den Grenzwert liegen maximal endlich viele Folgenglieder.

Auch, wenn nicht jede Folge einen Grenzwert besitzt, kann man sowohl bei konvergenten als auch bei divergenten Folgen einiges über ihr Verhalten im Unendlichen aussagen. Im Kapitel „Häufungspunkt einer Folge“ haben wir bereits das Konzept des Häufungspunkts als Verallgemeinerung des Grenzwerts kennengelernt. Der Häufungspunkt ist eine Zahl, gegen die ein Teil der Folge strebt und um die sich deswegen die Folgenglieder „häufen“. Damit können sie benutzt werden, um das Verhalten einer Folge im Unendlichen zu beschreiben.

Durch Angabe des größten und des kleinsten Häufungspunkts können wir den Bereich einschränken, wo sich diese Häufungspunkte befinden. Der größte Häufungspunkt wird dabei Limes superior und der kleinste Limes inferior genannt. Dabei verwenden wir für den größten Häufungspunkt einer Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ den Ausdruck $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n$ und für den kleinsten Häufungspunkt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n$.

Das abgeschlossene Intervall $[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n]$ zwischen dem kleinsten und größten Häufungspunkt ist eine Art „verallgemeinertes Grenzwertintervall“. Wir können nämlich zeigen, dass sich bei beschränkten Folgen in jeder Umgebung um dieses Intervall fast alle Folgenglieder befinden. Außerhalb einer solchen Umgebung befinden sich nur endlich viele Folgenglieder. In der folgenden Abbildung ist dies für eine Epsilon-Umgebung $[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n-ϵ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n+ϵ]$ um dieses Intervall illustriert. Außerhalb dieses "Schlauchs" befinden sich nur endlich viele Folgenglieder und innerhalb fast alle:

Das Intervall zwischen dem größten und kleinsten Häufungspunkt ist eine Art verallgemeinertes Grenzwertintervall

Definition

Wir wollen eine Folge genauer durch die Bestimmung des kleinsten und größten Häufungspunkts beschreiben. Dadurch schwächen wir den Grenzwertbegriff ab und gewinnen einen anderen Blick auf die Folge. Der größte Häufungspunkt wird Limes superior genannt und wird bei einer Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $\mathrm{lim\; sup}{a}_n$ bezeichnet. Der kleinste Häufungspunkt ist der Limes inferior und wird als $\mathrm{lim\; inf}{a}_n$ beschrieben:

Zusammenhang mit Grenzwert

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Limes superior und der Limes inferior existieren und übereinstimmen:

Alternative Charakterisierung von Limes Superior und Limes Inferior

Ist $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ beschränkt, so lassen sich $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n$ auch wie folgt charakterisieren:

Beispiele

Da diese Charakterisierungen von $\mathrm{lim\; sup}$ und $\mathrm{lim\; inf}$ am Anfang etwas abstrakt wirken, wollen wir sie zunächst an zwei Beispielen veranschaulichen:

Rechenregeln für Limes Superior und Limes Inferior

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