Mathe für Nicht-Freaks: Junktor

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Junktoren sind bestimmte Symbole in der Aussagenlogik, die Aussagen miteinander verbinden oder in eine Beziehung stellen. Das Wort Junktor stammt vom lateinischen Wort „iungere“ ab, was so viel wie „verknüpfen, verbinden“ bedeutet. Junktoren kann man deshalb gut mit Bindewörtern vergleichen, wie sie in natürlichen Sprachen vorkommen (Beispiele für Bindewörter sind „und“, „oder“, „aber“). Während Junktoren in der Logik Aussagen miteinander verknüpfen, verbinden Bindewörter einzelne Satzteile in einer natürlichen Sprache. Dementsprechend gibt es (wie du noch sehen wirst) in der deutschen Sprache für Junktoren ein äquivalentes oder ähnliches Bindewort.

Es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Die Bedeutung eines Junktors ist eindeutig definiert, wohingegen Bindewörter oftmals eine unterschiedliche Bedeutung (je nach Kontext, in dem sie verwendet werden) besitzen. So bedeutet „oder“ im Satz „Gehst du nun ins Kino oder bleibst du zu Hause?“, dass die angesprochene Person die Entscheidung hat, entweder ins Kino zu gehen oder zu Hause zu bleiben (es geht nur eines von beiden). Im Satz „Er freut sich über seinen Lottogewinn oder seine neue Freundin“ besitzt „oder“ eher die Bedeutung eines „und/oder“ (die Person kann sich sowohl über den Lottogewinn als auch über die neue Freundin freuen). Im Satz „Gehst du nun ins Kino oder ins Restaurant?“ kann „oder“ sowohl ausschließend als auch einschließend gemeint sein.

Es ist wichtig, dass du die Definitionen und Eigenschaften der einzelnen Junktoren genau kennst (insbesondere diejenigen Eigenschaften, die scheinbar der Intuition widersprechen), da dir sonst leicht Fehler in der Anwendung passieren. Es ist auch wichtig, dass du klar zwischen Bindewörtern der natürlichen Sprache und aussagelogischen Junktoren unterscheidest.

Einführende Beispiele

Nimm als Beispiel die folgenden zwei Aussagen:

Diese beiden Aussagen kannst du miteinander verknüpfen, indem du den Junktor „und“ verwendest. Du erhältst dadurch die Aussage: „$36$ ist durch 2 teilbar und $5$ ist gerade.“ Beachte dabei, dass hier „und“ als Junktor verwendet wird. Du kannst aber auch die beiden Aussagen auf eine ganz andere Art und Weise miteinander verknüpfen, nämlich: „Wenn $36$ durch 2 teilbar ist, dann ist $5$ gerade.“ Hier ist der Junktor der „Wenn-dann“-Junktor, der beide Aussagen miteinander verknüpft. Beide Beispiele zur Übersicht:

Für Junktoren werden Symbole verwendet. So ist für den Junktor „und“ das Symbol $\wedge$ und für den „Wenn-dann“-Junktor das Symbol $\Rightarrow$ gebräuchlich. Damit können obige beide Aussagen folgendermaßen dargestellt werden:

Junktoren verbinden nur Aussagen

Du solltest dir auch merken, dass Junktoren nur Aussagen miteinander verbinden. Die durch den Junktor verbundenen Teile müssen also selbst wieder Aussagen und keine Satzfragmente oder Ähnliches sein. Nimm hierzu den Beispielsatz:

Hier ist „und“ kein Junktor! Wenn dem so wäre, dann müssten die Satzteile „7“ sowie „42 sind natürliche Zahlen“ Aussagen sein, was sie aber nicht sind:

Anders sieht die Sache aus, wenn man obigen Satz leicht umformuliert:

Hier ist „und“ ein Junktor, weil die einzelnen Teile wiederum Aussagen sind:

Du siehst an obigem Beispiel gut, dass nicht jedes Bindewort der natürlichen Sprache automatisch ein Junktor ist und dass sauber zwischen Junktoren und deren zugeordneter Übersetzung unterschieden werden muss.

Die Junktoren

Im Folgenden stellen wir die für die Mathematik wichtigsten Junktoren vor. Um eine übersichtliche Notation zu erreichen, werden wir, wie es in der Mathematik üblich ist, als Platzhalter für Aussagen Großbuchstaben wie $A$, $B$ und $C$ verwenden. Beachte, dass diese Platzhalter auch für Aussagen stehen können, die selbst wieder eine Verknüpfung von mehreren Aussagen sind. Neben jedem Junktor findest du eine sogenannte Wahrheitstabelle des jeweiligen Junktors. Sie gibt den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage in Abhängigkeit der Wahrheitswerte der einzelnen Teilaussagen wieder. $W$ steht dabei für „wahr“ und $F$ steht für „falsch“.

Negation – die Verneinung einer Aussage Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Negation

$A$	$\mathrm{\neg }A$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$

Der erste Junktor, den wir vorstellen, ist die Verneinung einer Aussage, welche Negation genannt wird. Die Negation kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um: Aus „wahr“ wird durch Negation „falsch“ und analog aus „falsch“ wird „wahr“. Mit anderen Worten: Eine negierte Aussage $A$ ist genau dann wahr, wenn die Aussage $A$ falsch ist. Dies kannst du auch rechts der Wahrheitstabelle zur Negation entnehmen. Das Symbol der Negation ist $\mathrm{\neg }$. Wenn du also die Verneinung einer Aussage $A$ ausdrücken möchtest, so schreibst du $\mathrm{\neg }A$ auf (gesprochen „nicht A“). Es gibt aber auch die Notation $\bar{A}$ (gesprochen „A quer“) beziehungsweise $\sim A$, um die Negation von $A$ aufzuschreiben.

Es muss nicht unbedingt die Sonne scheinen, wenn es nicht regnet.

Es ist wichtig, dass du lernst, wie man eine Aussage richtig negiert. So ist zum Beispiel die Negation der Aussage „Es regnet“ nicht die Aussage „Es scheint die Sonne“, sondern die Aussage „Es regnet nicht“. Es könnte ja zum Beispiel sein, dass es bewölkt ist, es aber nicht regnet. Um eine logische Aussage zu negieren, gibt es einfache Umformungsregeln, die du beachten musst. Diese werden wir später im Kapitel „Aussagen negieren“ erklären.

Konjunktion – die Und-Verknüpfung Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Konjunktion

$A$	$B$	$A\wedge B$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$

Eine wichtige Verknüpfung zwischen zwei Aussagen $A$ und $B$ ist die Konjunktion, die Und-Verknüpfung „$A$ und $B$“. Das Symbol für „und“ ist $\wedge$ (als Merkhilfe kannst du an ein großes A vom Englischen „and“ für „und“ denken). Wenn du also notieren möchtest, dass sowohl die Aussage $A$ als auch die Aussage $B$ wahr ist, schreibst du $A\wedge B$. Wie du aus der Wahrheitstabelle entnehmen kannst, ist eine Aussage $A\wedge B$ dann und nur dann wahr, wenn sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind. Wenn bereits eine der beiden Teilaussagen falsch ist, ist die gesamte Aussage falsch. Dies deckt sich mit dem alltäglichen Gebrauch des Bindewortes „und“.

Disjunktion – die Oder-Verknüpfung Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Disjunktion

$A$	$B$	$A\vee B$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$

Außerdem kann man Aussagen noch über eine Oder-Verknüpfung miteinander verbinden. Dazu gibt es in der Logik die Disjunktion mit dem Symbol $\vee$. Wenn du sagen möchtest, dass mindestens eine der beiden Aussagen $A$, $B$ wahr ist, schreibst du $A\vee B$ („$A$ oder $B$“ ausgesprochen).

Beachte: In der Umgangssprache besitzt „oder“ zwei verschiedene Lesarten: So benutzen wir „oder“ im Sinne von „und/oder“ („Dieses Angebot richtet sich an junge Leute oder Kunstinteressierte.“) und in der Bedeutung als „entweder oder“ („Kommst du mit? Ja oder nein?“). Die Disjunktion ist das nicht-ausschließende Oder im Sinne von „mindestens“ („Der Bus hält, wenn jemand einsteigen oder jemand aussteigen will“).

Kontravalenz – die Entweder-oder-Verknüpfung Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Kontravalenz

$A$	$B$	$A\dot{\vee }B$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$

Die Kontravalenz ist ein Junktor im Sinne einer Entweder-oder-Verknüpfung. Man benutzt für sie das Symbol $\dot{\vee }$ („exklusiv oder“). Eine Aussage $A\dot{\vee }B$ ist genau dann wahr, wenn entweder $A$ oder $B$, aber nicht beide Aussagen gleichzeitig wahr sind. Die Kontravalenz entspricht damit dem ausschließenden Oder im Sinne von „Dieses Jahr gewinnt (entweder) Bayern oder Dortmund die deutsche Fußballmeisterschaft“. Die Kontravalenz wird in der Mathematik seltener verwendet als die Disjunktion.

Implikation – die Wenn-dann-Verknüpfung Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Implikation

$A$	$B$	$A\Rightarrow B$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$

Eine wichtige Verknüpfung in der Aussagenlogik ist die Implikation, welche als Wenn-dann-Verknüpfung aufgefasst werden kann. Ihr Symbol ist $\Rightarrow$; weitere weniger gebräuchliche Schreibweisen sind $\to$ und $\supset$. So bezeichnet $A\Rightarrow B$ die Aussage „Wenn $A$, dann $B$“. Weitere Sprechweisen für $A\Rightarrow B$ sind „Aus $A$ folgt $B$“, „$A$ impliziert $B$“, „$A$ ist eine hinreichende Bedingung für $B$“ und „$B$ ist eine notwendige Bedingung für $A$“. Dabei wird $A$ Prämisse und $B$ Konklusion genannt:

Eine Straße kann nass sein, ohne dass es regnet.

Die Bedeutung von $A\Rightarrow B$ ist demnach, dass wenn bereits die Aussage $A$ gilt, auch die Aussage $B$ gelten muss. Dabei muss aber kein kausaler Zusammenhang zwischen $A$ und $B$ vorliegen (was du vielleicht durch die Formulierung „Wenn $A$, dann $B$“ vermuten könntest). So ist die Aussage $4>1\Rightarrow \sqrt{9}=3$ („Aus $4>1$ folgt $\sqrt{9}=3$“) eine wahre Aussage, auch wenn aus der Tatsache, dass $4>1$ ist, nicht kausal die Tatsache folgt, dass $\sqrt{9}=3$ ist.

Leicht begeht man bei der Implikation $A\Rightarrow B$ den Fehler zu glauben, dass dann auch $B\Rightarrow A$ gelten müsse. So gehen einige davon aus, dass aus dem Satz „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgen müsse, dass, wenn die Straße nass ist, es auch regne. Dies ist aber nicht der Fall! So kann die Straße aufgrund einer Straßenreinigung nass sein oder es kann vor kurzem geregnet haben, ohne dass es momentan regnet.

Beachte auch, dass nach der Wahrheitstabelle die Implikation bereits dann wahr ist, wenn die Prämisse $A$ falsch ist. So ist die Aussage $2+3=11\Rightarrow 7+5=4$ („Wenn $2+3=11$ ist, dann ist $7+5=4$“) eine wahre Aussage, auch wenn $7+5\ne 4$ ist. Dieses Prinzip der Implikation wird ex falso quodlibet genannt oder zu Deutsch: „Aus Falschem folgt Beliebiges.“ Demnach ist eine Implikation nur dann und genau dann falsch, wenn die Prämisse $A$ wahr ist und die Konklusion $B$ falsch ist. Diese Tatsache kann zu recht kontraintuitiven Aussagen führen, die aber dennoch wahr sind. Betrachte dazu folgende Verständnisfrage:

Äquivalenz – die Genau-dann-wenn-Verknüpfung Vorlage:Anker

Wahrheitstabelle: Äquivalenz

$A$	$B$	$A\iff B$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$
$\mathrm{F}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{F}$
$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{W}$

Der letzte Junktor, den wir vorstellen möchten, ist die Äquivalenz. Die Äquivalenz wird mit dem Doppelpfeil $\iff$ dargestellt. Die Sprechweise von $A\iff B$ ist dabei „Genau dann $A$, wenn $B$“, „$A$ ist gleichwertig mit $B$“ oder „$A$ ist äquivalent zu $B$“. Eine Aussage $A\iff B$ ist genau dann und nur dann wahr, wenn die beiden Aussagen $A$ und $B$ denselben Wahrheitswert besitzen. Ist eine der beiden Aussagen wahr und die andere falsch, ist $A\iff B$ falsch. Die Äquivalenz wird auch Bijunktion genannt.

Die Bedeutung der Aussage $A\iff B$ ist dabei, dass aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgt und dass aus der Aussage $B$ die Aussage $A$ folgt. Dies erkennst du auch am Doppelpfeil – während bei der Äquivalenz der Pfeil von $A$ nach $B$ und umgekehrt geht, geht der Pfeil in der Implikation nur in eine Richtung (und zwar von der Prämisse zur Konklusion). Die Äquivalenz drückt damit eine Gleichwertigkeit zwischen zwei Aussagen aus, da zwei in Äquivalenz stehende Aussagen immer denselben Wahrheitswert besitzen (genau so ist die Äquivalenz definiert).

Bindungsreihenfolge der Junktoren (Präzedenzregeln)

Aus der Arithmetik kennst du bereits das Phänomen, dass bestimmte Operatoren stärker binden als andere. So bindet die Multiplikation $\cdot$ stärker als die Addition $+$ („Punktrechnung geht vor Strichrechnung“). Beispielsweise muss man $5+4\cdot 2$ als $5+(4\cdot 2)$ lesen. Jedoch ist diese Bindungsreihenfolge in der Logik nicht immer komplett und du musst Klammern einsetzen, um dem Leser die richtige Bindungsreihenfolge zu zeigen. Folgende Bindungsreihenfolge ist aber allgemein akzeptiert:

Manchmal wird auch eine vollständige Bindungsreihenfolge definiert. Diese lautet dann meistens (der am stärksten bindende Junktor steht am Anfang):

<section begin=Bindungsreihenfolge /># Negation $\mathrm{\neg }$

1. Konjunktion $\wedge$
2. Disjunktion $\vee$
3. Implikation $\Rightarrow$
4. Äquivalenz $\iff$<section end=Bindungsreihenfolge />

Die Kontravalenz $\dot{\vee }$ hat keinen festen Platz in der obigen Liste. Sie bindet stärker als die Implikation und schwächer als die Negation. Wenn aber die Kontravalenz zusammen mit der Disjunktion $\vee$ oder der Konjunktion $\wedge$ auftritt, solltest du deinen Ausdruck entsprechend Klammern.

Nach obiger Bindungsreihenfolge muss also die Aussage $\mathrm{\neg }A\wedge B\Rightarrow B\vee C\wedge A$ als $((\mathrm{\neg }A)\wedge B)\Rightarrow (B\vee (C\wedge A))$ gelesen werden. Ich empfehle dir aber (und werde dies auch im Buch umsetzen), bei der Unterscheidung der Bindung zwischen Konjunktion und Disjunktion sowie zwischen Implikation und Äquivalenz Klammern einzusetzen.

Wenn mehrere Implikationen nacheinander ohne Klammerung verwendet werden, gilt in der Literatur meistens folgende Definition:

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