Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte auf Ringen

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In diesem Artikel lernen wir die Grundbegriffe der Maßtheorie kennen. Wir überlegen uns zuerst, was "Messen" von Größen eigentlich ist und welche Eigenschaften eine Messfunktion haben sollte. Als sinnvollen Definitionsbereich für solche Messfunktionen führen wir Mengenringe ein. Damit können wir definieren, was ein Inhalt auf einem Ring ist.

Extensive Größen

"Messen" im Sinne der Maßtheorie meint quantifizieren: Gefragt ist nicht "welchen Wert hat ...?", "wie schnell/heiß/hell ist ...?", sondern "wie viel von ...?", "wie groß/schwer/zahlreich ist ..?". Uns interessieren also Größen, die sich mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern. In der Physik werden Größen mit dieser Eigenschaft extensive Größen genannt. Ein Beispiel dafür ist die Masse: Fügen wir zwei Körper $K_1$ und $K_2$ mit Masse $m_1$und $m_2$ zusammen, so hat der entstehende Körper $K$ die größere Masse $m_1+m_2$. Größen, die sich nicht mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern, heißen auch intensiv. Zum Beispiel ist die Temperatur eine intensive Größe: das Zusammengießen zweier Flüssigkeiten einer Temperatur führt nicht zur Summe der Temperaturen.

Wann immer wir also in der Maßtheorie etwas "quantifizieren", dann messen wir eine extensive Größe. Weitere Beispiele für solche Größen sind: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel Wir können die Maßtheorie also als mathematische Theorie des Messens extensiver Größen auffassen.

Messfunktionen

Wie können wir das Messen solcher Größen mathematisch fassen? Offenbar wird durch das Messen einer Größe eine Zuordnung beschrieben: Gewissen Objekten (Körpern, Ereignissen, Ansammlungen) wird jeweils genau ein (verallgemeinertes) Volumen zugeordnet. Das Messen einer Größe kann also durch eine Funktion beschrieben werden. Der Definitionsbereich dieser Funktion beinhaltet die zu messenden Objekte. Diese können als Teilmengen einer Grundgesamtheit $\mathrm{\Omega }$ aufgefasst werden. Beispielsweise kann man (physikalische) Körper als Teilmengen des ${ℝ}^3$ sehen:

Genauso kann man zum Beispiel Teilmengen von $\mathbb{N}$ betrachten, wenn es beim Messen einer extensiven Größe um das Zählen von Objekten geht. Der Definitionsbereich wird also ein Mengensystem $𝒞\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ von Teilmengen einer (jeweils genauer zu bestimmenden) Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ sein und die Funktion eine Mengenfunktion. Die Funktionswerte der Funktion entsprechen den diesen Mengen zugeordneten Volumina und sind Skalare aus $ℝ$. Wir wollen eine solche Funktion vorerst "Messfunktion" nennen.

Mathematisch gesehen ist für uns eine Messfunktion zunächst nichts weiter als eine Mengenfunktion mit Werten in $ℝ$. Wir untersuchen, welche weiteren Eigenschaften eine Messfunktion haben sollte, um sinnvoll das Messen einer extensiven Größe beschreiben zu können.

Welche Eigenschaften sollte eine Messfunktion haben?

Nichtnegativität

Es ist intuitiv sinnvoll, Nichtnegativität von Messfunktionen zu verlangen. Denn wie soll ein negatives Volumen zu interpretieren sein? Zwar gibt es Situationen, in denen man auch negative Zahlen als Werte einer Messfunktion zulässt (signierte Maße). Anschaulich entspricht das dem Messen einer Gesamtladung, die sich aus positiven und negativen Anteilen zusammensetzt. Manchmal wird der Wertebereich sogar noch weiter verallgemeinert, sodass auch komplexe Zahlen als Funktionswerte auftreten können (komplexe Maße) oder gewisse lineare Abbildungen (Spektralmaße). Alle diese Fälle ergeben sich aber als Verallgemeinerungen aus der nichtnegativen reellen Situation, sodass wir uns vorerst darauf beschränken wollen. Außerdem sollte auch Unendlich als Funktionswert zugelassen sein: Beispielsweise sollte das geometrische Volumen von ${ℝ}^n$ unendlich sein. Wir fordern also: Eine Messfunktion bildet nach $[0,\mathrm{\infty }]:={ℝ}_0^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ ab.

Monotonie

Messfunktionen sollen das Messen extensiver Größen formalisieren. Extensive Größen sind dadurch charakterisiert, dass sie sich mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern. Insbesondere sollte ein Vergrößern des Systems nicht zu einer Verkleinerung der gemessenen Größe führen. Beispielsweise sollte man beim Bestimmen der Anzahl der Atome in einer Stoffprobe nach dem Hinzufügen einer gewissen Menge des Stoffs nicht weniger Atome zählen. Diese Eigenschaft sollte sich auch bei der Messfunktion finden. Mathematisch lässt sich das mit dem Begriff der Monotonie einer Mengenfunktion beschreiben:

Wir fordern also: Eine Messfunktion ist monoton.

Subadditivität

Die Mengen $A_1,\dots ,A_7$ überdecken das Rechteck $A$.

$B_1,B_2,B_3$ überdecken $A$.

Die Monotonie der Messfunktion garantiert, dass der Wert für eine gegebene Menge $A\in 𝒞$ stets kleiner oder gleich dem Wert für eine beliebige Obermenge $B\in 𝒞$ ist. Aber gilt das auch, wenn die Obermenge $B$ eine Vereinigung von mehreren Mengen ist? Intuitiv sollte das der Fall sein: Wird eine Menge $A\in 𝒞$ mit Mengen $A_1,A_2,\dots ,A_n\in 𝒞$ überdeckt, dann sollte die Messfunktion für $A$ auf keinen Fall einen größeren Wert liefern als für die Summe der Inhalte der überdeckenden Mengen.

Mathematisch ausgedrückt: Für eine Messfunktion $\mu$ und Mengen $A,A_1,\dots ,A_n\in 𝒞$ sollte gelten:

Insbesondere sollte diese Eigenschaft erfüllt sein, wenn die Vereinigung der überdeckenden Mengen $A_1,\dots ,A_n$ selbst nicht mehr im Defintionsbereich $𝒞$ liegt. Doch diese Eigenschaft wird noch nicht durch die Monotonie ausgedrückt!

Die Eigenschaft von Mengenfunktionen, dass die Monotonie auch bei endlichen Überdeckungen erhalten bleibt, muss also extra gefordert werden. Man nennt das (endliche) Subadditivität.

Falls die Überdeckung der Menge $A$ nur aus einer einzigen Menge $B$ besteht, entspricht diese Eigenschaft genau der Monotonie. Wir können also die Subadditivität als Verallgemeinerung der Monotonie auffassen und die Forderung der Monotonie von Messfunktionen ersetzen durch diese verallgemeinerte Version: Messfunktionen sollen subadditiv sein.

Additivität

Die bisher geforderten Eigenschaften der Monotonie bzw. allgemeiner der Subadditivität machen nur eine "approximative" Aussage: Die Funktionswerte einer subadditiven Mengenfunktion können vom "echten" Wert nach oben abweichen. Um das zu verdeutlichen ein

Disjunkte Vereinigung mit $n=7$

Offenbar muss also für eine Messfunktion, die "exakt" sein soll, diese Eigenschaft zusätzlich gefordert werden: Wird eine Menge $A\in 𝒞$ von endlich vielen, paarweise disjunkten Mengen $A_1,\dots ,A_n$ genau überdeckt, dann soll der Funktionswert der Messfunktion für $A$ gleich der Summe der Funktionswerte für die einzelnen $A_i$ sein.

Um hervorzuheben, dass eine Vereinigung eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen ist, führen wir eine neue Schreibweise ein:

Die oben formulierte Bedingung der "Exaktheit" einer Mengenfunktion, dass passgenaues Überdecken bzw. Zerlegen und Wieder-Zusammensetzen einer Menge ihr Volumen nicht ändert, heißt (endliche) Additivität:

Diese wünschenswerte Eigenschaft einer Messfunktion, exakt zu sein, halten wir fest und fordern also: Messfunktionen sind additiv.

Es ist wichtig zu bemerken, dass aufgrund dieser einschränkenden Bedingung die Additivität einer Mengenfunktion mehr noch als die Subadditivität vom Definitionsbereich $𝒞$ abhängt. Insbesondere folgt aus der Additivität einer Mengenfunktion im Allgemeinen nicht ihre Subadditivität oder Monotonie. Das liegt daran, dass eine Mengenfunktion trivialerweise additiv sein kann, einfach weil ihr Definitionsbereich $𝒞$ keine disjunkten Mengen enthält:

Jedoch werden wir später sehen, dass Additivität die Subadditivität impliziert, wenn der Definitionsbereich $𝒞$ genügend "Struktur" aufweist.

Zuletzt macht es die Additivität von Messfunktionen wünschenswert, dass $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$ gilt: Wegen der Additivität muss $\mu (\mathrm{\varnothing })=\mu (\mathrm{\varnothing }\uplus \mathrm{\varnothing })=\mu (\mathrm{\varnothing })+\mu (\mathrm{\varnothing })$ gelten, und diese Bedingung ist nur für $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$ oder $\mu (\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\infty }$ erfüllbar. Wäre nun $\mu (\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\infty }$, so müsste aufgrund der Monotonie $\mu (A)=\mathrm{\infty }$ für alle Mengen $A\in 𝒞$ gelten. Um diesen pathologischen Fall auszuschließen, fordert man zusätzlich: Für Messfunktionen gilt $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$.

Zusammenfassung

Wir halten die Eigenschaften fest, die eine Messfunktion haben sollte, um sinnvoll das Messen einer extensiven Größe zu beschreiben:

• Eine solche Funktion sollte nach $[0,\mathrm{\infty }]$ abbilden. Intuitiv ist das sinnvoll, außerdem lassen sich alle weiteren Fälle von dieser Situation aus verallgemeinern.
• Sie sollte subadditiv sein. Die Subadditivität haben wir als eine verbesserte Form der Monotonie hergeleitet, die auch bei endlichen Überdeckungen erhalten bleibt. Insbesondere ist jede subadditive Mengenfunktion auch monoton. Die Monotonie selbst spiegelt die charakteristische Eigenschaft extensiver Größen wieder, sich mit der Größe des betrachteten Systems zu ändern.
• Sie sollte additiv sein. Die Additivität entspricht der Eigenschaft einer Messfunktion, "exakt" zu sein und sich mit dem Zerlegen gemessener Objekte in endlich viele Teile und dem Wieder-Zusammensetzen zu vertragen.
• Sie sollte der leeren Menge den Wert Null zuordnen. Das ist intuitiv sinnvoll und dient außerdem dazu, den Fall auszuschließen, dass die Messfunktion konstant unendlich ist.

Die Frage nach dem Definitionsbereich

In den Überlegungen zur Additivität hat sich schon eine Schwierigkeit abgezeichnet: Ob eine Mengenfunktion additiv ist, hängt auch von ihrem Definitionsbereich ab. Es ist klar: Je mehr Mengen im Definitionsbereich enthalten sind, umso schwieriger ist es, die Additivität für alle diese Mengen sicherzustellen. Deshalb stellt sich die Frage, welches (möglichst umfassende) Mengensystem $𝒞$ über einer Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ man überhaupt als Definitionsbereich einer bestimmten Messfunktion wählen kann, ohne ihre Additivität zu gefährden. In der Tat ist die Antwort auf diese Frage im Allgemeinen nicht einfach die Potenzmenge $𝒫(\mathrm{\Omega })$. Überraschenderweise ist es nicht möglich, jede additive und subadditive Messfunktion auf der gesamten Potenzmenge der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ zu definieren. Ein Beispiel ist das elementargeometrische Volumen auf dem ${ℝ}^n$:

Exkurs: Das Inhaltsproblem

Das Ziel ist, eine additive Mengenfunktion zu definieren, die das elementargeometrische Volumen im ${ℝ}^p$ beschreibt. Das Problem, eine solche Funktion auf ganz $𝒫({ℝ}^p)$ zu definieren, kann man dadurch angehen, indem man sich anschaut, welche formalen Eigenschaften sie erfüllen sollte. Drei Eigenschaften, die auf jeden Fall gelten sollten, werden im sogenannten Inhaltsproblem gefordert:

Hausdorff, Banach und Tarski haben aber zeigen können:

• Das Inhaltsproblem ist unlösbar für den ${ℝ}^p$, falls $p\ge 3$. (Hausdorff, 1914)
• Das Inhaltsproblem ist lösbar für den ${ℝ}^1$ und den ${ℝ}^2$, aber es ist nicht eindeutig lösbar. (Banach, 1923)

Aufbauend auf dem Resultat von Hausdorff haben Banach und Tarski den folgenden Satz gezeigt, welcher auch als "Banach-Tarski-Paradoxon" bekannt ist:

Dieser Satz macht anschaulich klar, dass das Inhaltsproblem auf dem ${ℝ}^p$ für $p\ge 3$ nicht lösbar sein kann. Die Implikationen wären absurd: Aus dem Satz folgt, dass sich eine Erbse geeignet in endlich viele Teile zerlegen und zu einer Kugel von der Größe der Sonne zusammensetzen lässt. (Natürlich funktioniert das nicht im echten Leben, allein deshalb, weil physikalische Körper keine kontinuierlichen Punktmengen, sondern aus Atomen zusammengesetzt sind. Die Mengen einer solchen Zerlegung sind äußerst komplex und lassen sich am ehesten als "Punktwolken" veranschaulichen, die sich im Allgemeinen nicht explizit angeben lassen.)

Mengenringe

Wir können also im Allgemeinen nicht hoffen, eine additive Mengenfunktion auf der ganzen Potenzmenge definieren zu können. Das macht es nötig, sich über das Mengensystem, das als Definitionsbereich von Messfunktionen dienen soll, genauer Gedanken zu machen. Wirft man einen Blick in Literatur zur Maßtheorie, findet man dort einen ganzen Zoo an Mengensystemen: Halbringe, Ringe, $\sigma$-Ringe (sprich: "Sigma-Ringe"), Algebren, $\sigma$-Algebren, Dynkin-Systeme, monotone Klassen, ... Eine Übersicht findest du In diesem Artikel

Intuitiv sollte der Definitionsbereich $𝒞$ einer additiven (und subadditiven) Messfunktion stabil unter den folgenden Mengenoperationen sein: der disjunkten Vereinigung endlich vieler Mengen und ihrem Gegenstück, dem Bilden von Differenzen von Mengen. Hat man die Differenzoperation zur Verfügung, kann man außerdem beliebige Vereinigungen "künstlich" disjunkt machen: Sind $A$ und $B$ (nicht notwendigerweise disjunkte) Mengen, so ist $A\cup B=A\uplus (B\setminus A)$, wobei die beiden vereinigten Mengen auf der rechten Seite der Gleichung wieder in $𝒞$ liegen. Man kann also die Disjunktheit vergessen und von beliebigen endlichen Vereinigungen sprechen. Um triviale Fälle auszuschließen, fordern wir schließlich noch $𝒞\ne \mathrm{\varnothing }$ und können nun definieren:

Beispiele für Mengenringe

Über jeder Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ gibt es die beiden Ringe $ℛ=\{\mathrm{\varnothing }\}$ und $ℛ=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$.

Ein weiteres wichtiges Beispiel für einen Ring ist das folgende:

Inhalte auf Ringen

Wir haben nun einige Eigenschaften gefunden, die eine Messfunktion erfüllen sollte, um sinnvoll das Messen einer extensiven Größe zu beschreiben: die Nichtnegativität, Subadditivität (insbesondere Monotonie) und die Additivität. Als natürliche Definitionsbereiche solcher Funktionen haben wir Ringe kennengelernt.

Auf Ringen ist Additivität ausreichend

Vorhin haben wir bemerkt, dass aus der Additivität einer Messfunktion im Allgemeinen nicht ihre Subadditivität, nicht einmal ihre Monotonie folgt - jedenfalls nicht, wenn nichts weiter über den Definitionsbereich $𝒞$ bekannt ist. Wenn aber das Mengensystem $𝒞$ ein Ring ist, folgt die Monotonie und die Subadditivität schon aus der Additivität und Nichtnegativität der Messfunktion. Der Grund dafür ist, dass man aufgrund der Differenzstabilität des Mengensystems Vereinigungen leicht "künstlich" disjunkt machen kann und so die Eigenschaft der Additivität ausnutzen kann. Beim Beweis dieser Aussage ist es geschickt, zuerst die etwas einfachere Eigenschaft der Monotonie und danach die Subadditivität zu zeigen.

Definition

Man kann also die Monotonie und Subadditivität einer auf einem Ring definierten Messfunktion schon allein über ihre Nichtnegativität und Additivität charakterisieren. Damit können wir nun alle Eigenschaften, die eine Messfunktion besitzen sollte, in der folgenden Definition zusammenfassen.

Die Bedingung $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$ ist intuitiv sinnvoll und dient außerdem dazu, den pathologischen Fall $\mu \equiv \mathrm{\infty }$ auszuschließen.

Beispiele

Ein besonders wichtiges Beispiel ist der sogenannte elementargeometrische Inhalt:

Weitere Eigenschaften von Inhalten

Wir sammeln Eigenschaften von Inhalten. Im Folgenden sei $ℛ$ ein Ring (insbesondere abgeschlossen unter Bildung von Differenzen und endlichen Vereinigungen) und sei $\mu :ℛ\to [0,\mathrm{\infty }]$ ein Inhalt.

Eine weitere Eigenschaft von endlichen Inhalten (d.h. $\mu (A)<\mathrm{\infty }$ für alle Mengen $A\in ℛ$) ist das sogenannte Einschluss-Ausschluss-Prinzip. Es ist unter anderem in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig und führt den Inhalt einer Vereinigung von Mengen auf eine Summe von Inhalten von Schnitten zurück. Beachte: Für einen Ring $ℛ$ und $A,B\in ℛ$ gilt auch $A\cap B=A\setminus (A\setminus B)\in ℛ$. Endliche Schnitte von Mengen aus $ℛ$ liegen also wieder in $ℛ$.

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