Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften Linearer Abbildungen

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Wir betrachten einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Zusammenfassung

<section begin="Zusammenfassung"/>Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung $f:V\to W$:

• Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: $f(0)=0$
• Inverse werden auf Inverse abgebildet: $f(-v)=-f(v)$
• Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
• Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
• Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: $f(\mathrm{span}(M))=\mathrm{span}(f(M))$ ($M\subseteq V$ ist eine beliebige Menge)<section end="Zusammenfassung"/>

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet

Der Ursprung hat in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung. Deshalb sollte der Ursprung durch eine lineare Abbildung auf den Ursprung geschickt werden. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen, ist formal das neutrale Element $0$ der Addition. Wir zeigen also folgenden Satz:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Inverse werden auf Inverse abgebildet

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein additives Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass Inverse durch lineare Abbildungen erhalten bleiben.

Die Aussage dieses Satzes gilt auch allgemeiner in abelschen Gruppen. Dort existiert allerdings keine Skalarmultiplikation. Daher muss in diesem Fall die alternative Version des Beweises benutzt werden.

Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab: <section begin=Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet /> Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz <section end=Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet />

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen $f:V_1\to V_2$ und $g:V_2\to V_3$. Beide vertragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen $g\circ f:V_1\to V_3$ mit $(g\circ f)(v)=g(f(v))$ gelten. Dies beweist der folgende Satz:

Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Urbilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Spanne werden auf Spanne abgebildet

Nehmen wir nun an, wir haben eine Teilmenge $M\subseteq V$. Für diese Teilmenge gilt nun, dass es egal ist, ob wir zunächst den Spann berechnen und anschließend die Abbildung anwenden oder umgekehrt.

Dass dem wirklich so ist, zeigen wir mit dem folgenden Satz:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}