Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Ringe

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Bisher haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet. Diese hatten wir zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ im Halbring und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Bei der Differenz von zwei Elementen des Halbringes traten endliche disjunkte Vereinigungen von Halbring-Elementen auf. Mit diesen wollen wir auch umgehen können. Sie haben erneut bestimmte Eigenschaften und zwar die eines "Ringes":

Ringe stellen wir uns generell in unserer Intuition als endliche disjunkte Vereinigung von (sich nicht überschneidenden, aber durchaus sich berührenden) Rechtecken vor (siehe das Bild)

durch Überlappung verringert sich das Volumen

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Mengenoperationen auf Ringen

Wir wollen uns typische Mengenoperationen auf Ringen veranschaulichen. Wie im letzten Kapitel über Halbringe markieren wir den oberen und rechten Rand eines Rechteckes mit einem schwarzen Balken, umzuverdeutlichen, dass dieser Teil noch hinzugehört.

Definition eines Ringes

Typische Mengenoperationen auf Ringen haben wir uns im vorherigen Abschnitt veranschaulicht. Nun erfolgt die formale Definition eines Ringes:

Eine Eigenschaft von Halbringen

Wir wollen den von einem Halbring erzeugten eindeutigen Ring der endlichen disjunkten Vereinigungen berechnen. Um das zu beweisen, benötigen wir einen Hilfssatz. Bei Halbringen konnten wir die Differenz bilden zwischen zwei Halbringelemente und erhielten endlich viele disjunkte Halbringelemente. Das war ein Teil der Definition und wir haben es für Rechtecke nachgerechnet. Jetzt schneiden wir mehrfach aus einem Halbring andere Halbring-Elemente heraus. Dabei sollte nichts Ungewöhnliches passieren, außer dass wir in jedem Schritt immer mehr sehr viele kleinere Halbring-Elemente erhalten. Und so ist es auch:

Der von einem Halbring erzeugte Ring

Mit dem Ergebnis des letzten Abschnittes können wir den von einem Halbring erzeugten Ring bestimmen: es ist die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von Halbringelementen! Das war auch unsere Intuition bei Rechtecken

Der Ring der endlichen disjunkten Rechtecke oder Quader

Mit dem vorherigen Abschnitt gibt es in unserer Intuition nur eine Möglichkeit von Rechtecken zu dem RIng der endlichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken zu kommen, er lautet

bzw. für beliebige Dimension p

Woher kommt der Name "Ring"?

Es gibt eine weitere gleichwertige Definitionen eines Ringes: Die leere Menge ist im Ring, $\mathrm{\varnothing }\in R$ und für alle Elemente $A,B\in R$ des Ringes, sind die symmetrische Differenz $A\mathrm{\Delta }B\in R$ im Ring und der Schnitt $A\cap B\in R$ im Ring.

In der Algebra ist ein Ring definiert als eine Grundmenge mit zwei Abbildungen $+:R\times R\to R$ und $\cdot :R\times R\to R$, sodass $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist und für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt und zwei Distributivgesetzte erfüllt sind. Das wird von der zweiten Definition eines Ringes erfüllt, mit $+=\mathrm{\Delta }$ und $\cdot =\cap$ wobei jedes Element sein additiv Inverses ist $A\mathrm{\Delta }A=0$. So kommt es zum Name "Ring". {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}