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Aufgabe 1

Zunächst einmal muss eine Zielfunktion $O(r)$ gefunden werden, welche die Oberfläche des kreiszylinders in Abhängigkeit des Radius angibt:

$O(r)=2\pi r^2+2\pi r\frac{V}{\pi r^2}$

Der Term $2\pi r^2$ ist die Summe aus Boden- und Deckfläche. Der Term $2\pi r\frac{V}{\pi r^2}$ stellt hingegen die Mantelfläche dar und vereinfacht sich (mit dem Volumen $V=1$) zu $\frac{2}{r}$. Somit lautet die endgültige Zielfunktion

$O(r)=2\pi r^2+\frac{2}{r}$.

Um das Extremum zu finden braucht man die notwendige Bedingung $O{}^{\prime }(r)=0$.

$O{}^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{2}{r^2}=0$

Auflösen dieser Gleichung liefert

$r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}$.

An dieser Stelle müsste noch die hinreichende Bedingung überprüft werden, aber das ist nicht weiter schwierig und deshalb kommen wir jetzt gleich zur Lösung: Der Radius ist

$r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}$,

die Höhe

$h=3\sqrt[3]{2\pi }$

und die Oberfläche ergibt sich zu

$O=5.54d{m}^3$.