Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Homomorphiesatz und Isomorphiesätze

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1. Homomorphiesatz

Seien $U_{1}$ und $U_{2}$ Unterräume eines Vektorraumes. Dann ist

U_{1} / (U_{1} \cap U_{2}) ≃ (U_{1} + U_{2}) / U_{2}

Beweis

Die Abbildung (mit erste Abbildung: Inklusionsabbildung und zweite Abbildung: kanonischer Homomorphismus)

φ : U_{1} \to U_{1} + U_{2} \to (U_{1} + U_{2}) / U_{2}

ist surjektiv, denn $φ (u_{1}) = u_{1} + U_{2}; u_{1} \in U_{1}$ .

Aus $φ (x) = 0$ folgt $x \in U_{2}$ somit ist $k e r φ = U_{1} \cap U_{2}$ . Aus dem Homomorphiesatz folgt dann

U_{1} / (U_{1} \cap U_{2}) = U_{1} / k e r (φ) ≃ i m (φ) = (U_{1} + U_{2}) / U_{2}

2. Isomorphiesatz

Seien $U_{1} \subseteq U_{2}$ Unterräume eines Vektorraums $U_{3}$ . Dann gilt

(U_{3} / U_{1}) / (U_{2} / U_{1}) ≃ U_{3} / U_{2}

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