Formelsammlung Mathematik: Mächtigkeiten

Definitionen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

Eine Menge $M$ heißt endlich, wenn $|M|<|\mathbb{N}|$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt abzählbar unendlich, wenn $|M|=|\mathbb{N}|$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt überabzählbar, wenn $|\mathbb{N}|<|M|$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt unendlich, $|\mathbb{N}|\le |M|$ gilt.

Eine Abzählung der Menge $M$ ist eine Surjektion $\mathbb{N}\to M$.

Gesetzmäßigkeiten

Reflexivität:

Es gilt $|A|\le |A|$.

Transitivität:

Aus $|A|\le |B|$ und $|B|\le |C|$ folgt $|A|\le |C|$.

Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):

Aus $|A|\le |B|$ und $|B|\le |A|$ folgt $|A|=|B|$.

Totalität (Vergleichbarkeitssatz):

Es gilt $|A|\le |B|\vee |B|\le |A|$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.

Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.

Hilberts Hotel.

Ist $E$ eine endliche Menge und $A$ unendlich, dann gilt $|E\cup A|=|A|$ und $|A\setminus E|=|A|$.

Reißverschlussargument.

Sind $A,B$ abzählbar unendlich, dann ist auch $A\cup B$ abzählbar unendlich.

Cantors erstes Diagonalargument.

Sind $A,B$ abzählbar unendlich, dann ist auch $A\times B$ abzählbar unendlich.

Cantors zweites Diagonalargument.

Es gilt $|\mathbb{N}|<|2^{\mathbb{N}}|$.

Satz von Cantor.

Es gilt $|A|<|2^A|$.

Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.

Für unendliche Mengen gilt $|A|=|A\times A|$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Es gilt

$\begin{array}{cc}|\mathbb{N}|& =|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|<|2^{\mathbb{N}}|=|ℝ|=|ℂ|,\\ |\mathbb{N}|& =|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|.\\ \end{array}$

Es gilt

$\begin{array}{cccc}|\mathbb{N}|& =|{\mathbb{N}}^n|=|{\mathbb{Z}}^n|,& & (n\ge 1)\\ |ℝ|& =|{ℝ}^n|.& & (n\ge 1)\end{array}$