Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Anhang

Herleitung der Wellengleichung

Eine Schwingung lässt sich durch trigonometrische Funktionen beschreiben, da ein experimenteller Zusammenhang zur gleichförmigen Kreisbewegung besteht

Die Wellengleichung beschreibt die Auslenkung eines Teilchens des Wellenträgers, die vom Ort $x$ sowie von dem Zeitpunkt $t$ abhängig ist. Eine Welle ist dabei die Übertragung einer Schwingungsbewegung entlang des Wellenträgers. Die Auslenkung $s(t)$ bei einer Schwingung mit der Amplitude $\hat{s}$ lässt sich beschreiben durch (s. Abb.):

$s(t)=\hat{s}\cdot \sin (\omega t)$

Ein Teilchen am Ort $x$ übt nun dieselbe Schwingung aus, wie das erste Teilchen zu einem um $t_x=x/c$ früheren Zeitpunkt:

$s(x;t)=\hat{s}\cdot \sin (\omega (t-t_x))=\hat{s}\cdot \sin \left(\omega (t-\frac{x}{c})\right)$

Nun führt einfaches Umformen zur Wellengleichung:

$s(x;t)=\hat{s}\cdot \sin \left(\omega (t-\frac{x}{c})\right)=\hat{s}\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{T}(t-\frac{xT}{\lambda })\right)=\hat{s}\cdot \sin \left(2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda })\right)$

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Schreibweisen der Schrödinger-Gleichung

Folgende Form der Schrödinger-Gleichung wurde hier hergeleitet:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)=-\frac{8m{\pi }^2}{h^2}(W-W_{pot})\cdot \mathrm{\Psi }(x)$

Häufig wir die Schrödinger-Gleichung auch mit dem reduzierten Plank’schen Wirkungsquantum $\hslash =h/(2\pi )\iff h=2\hslash \pi$ angegeben:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})\cdot \mathrm{\Psi }(x)$

Durch Äquivalenzumformung erreicht man auch die ebenfalls oftmals anzutreffende Form:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})\cdot \mathrm{\Psi }(x)=0$

Durch Ausmultiplizieren der Klammer erhält man folgende Form, die man ebenfalls häufig vorfindet:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+\frac{2m}{{\hslash }^2}(W\mathrm{\Psi }(x)-W_{pot}\mathrm{\Psi }(x))={\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+\frac{2m}{{\hslash }^2}W\mathrm{\Psi }(x)-\frac{2m}{{\hslash }^2}{W}_{pot}\mathrm{\Psi }(x)=0$ $\iff {\mathrm{\Psi }}^{″}(x)-\frac{2m}{{\hslash }^2}{W}_{pot}\mathrm{\Psi }(x)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}W\mathrm{\Psi }(x)$ $\iff -\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+W_{pot}\mathrm{\Psi }(x)=W\mathrm{\Psi }(x)$

Nun lässt sich eine Ableitung von $\mathrm{\Psi }(x)$ auch schreiben als $d\mathrm{\Psi }(x)/dx$, bei der zweiten Ableitung wird Quadriert:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\mathrm{\Psi }(x)+W_{pot}\mathrm{\Psi }(x)=W\mathrm{\Psi }(x)$

Für einen eindimensionalen zeitunabhängigen Fall (und es werden hier ausnahmslos solche Fälle behandelt) ist der sogenannte Hamilton-Operator definiert als:

$H:=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+W_{pot}$

Dadurch ergibt sich eine sehr kurze (und daher oft anzutreffende) Schreibweise der Schrödinger-Gleichung:

$H\mathrm{\Psi }(x)=W\mathrm{\Psi }(x)$

Man sagt nun auch: Zur Lösung dieser Schrödinger-Gleichung $H\mathrm{\Psi }(x)=W\mathrm{\Psi }(x)$ mit dem Hamilton-Operator $H$ müssen die Eigenfunktionen $\mathrm{\Psi }(x)$ sowie die Eigenwerte $W$ des Operators gefunden werden.

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Herleitung der Euler‘schen Formel

Die Euler‘sche Formel wird als eine der bemerkenswertesten Gleichungen der Mathematik bezeichnet, denn sie verbindet Exponential- und trigonometrische Funktionen im Bereich der komplexen Zahlen:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Zur Herleitung der Formel werden meist Potenzreihen verwendet: Jede Funktion lässt sich als unendliche Potenzreihe darstellen (siehe Taylorreihe). So gilt für die drei verwendeten Funktionen:

$e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ $\sin x=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\pm \cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\cos x=\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm \cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Daraus ergibt sich für komplexe Argumente:

$\begin{array}{cccc}{e}^{ix}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n{x}^n}{n!}& & (1)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^{2n+1}{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}& & (2)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}i{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}& & (3)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}& & (4)\\ & =\cos x+i\sin x& & (5)\end{array}$

Man beginnt bei der Exponentialfunktion und stellt sie im ersten Schritt als Potenzsumme dar. Diese geht über alle natürlichen Zahlen $n$ (von $0$ bis $\mathrm{\infty }$). Daher kann sie im zweiten Schritt in alle geraden Zahlen $2n$ und in alle ungeraden Zahlen $2n+1$ aufgeteilt werden. Im dritten Schritt wird $i^{2n+1}$ gemäß den Potenzgesetzten in $i^{2n}i$ zerlegt und $i^2$ durch $-1$ ersetzt. Im vierten Schritt wird $(-1{)}^n$ vom Bruchstrich heruntergeholt und $i$ vor das Summenzeichen gesetzt (was bei konstanten Faktoren erlaubt ist; es entspricht dem Ausklammern). Durch Vergleichen mit den obigen Potenzreihen von Sinus und Cosinus ergibt sich offensichtlich der fünfte Schritt.

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Überprüfung der Differentialgleichungslösung für die Bereiche I und III

Die gefundene Lösung lautet:

$\mathrm{\Psi }(x)=c_1{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}+c_2{e}^{\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}$

Zweimaliges Ableiten ergibt:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)& =\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})\cdot c_1{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})\cdot c_2{e}^{\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}\\ & =\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})(c_1{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}+c_2{e}^{\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x})\\ & =-\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})(c_1{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x}+c_2{e}^{\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(-W+W_{pot})}x})\\ & =-\frac{2m}{{\hslash }^2}(W-W_{pot})\cdot \mathrm{\Psi }(x)\end{array}$

Somit ist die Richtigkeit der Lösung für die Differentialgleichung (Schrödinger-Gleichung) bewiesen.

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