7.3 Die Umwandlungsregeln

Im Folgenden werden die Umwandlungsregeln mathematisch bewiesen. Dazu wird auf den Abschnitt 5 und die Einführung der Janus-Zahlen verwiesen.

UR 1: Es liegen zwei Steine auf demselben Feld.

(d1 | z1) + (d1 | z1) = (d1 | z1 + 1)

  $\begin{matrix} 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} + 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} & = 2 \cdot 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} \\ = 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1} + 1} \end{matrix}$

UR 2: Es liegen zwei Steine nebeneinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 + 1 | z1) = (d1 | z1 + 2)

  $\begin{matrix} 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} + 3^{d_{1} + 1} \cdot 2^{z_{1}} & = (3^{d_{1}} + 3^{d_{1} + 1}) \cdot 2^{z_{1}} \\ = (3^{d_{1}} + 3 \cdot 3^{d_{1}}) \cdot 2^{z_{1}} = 3^{d_{1}} \cdot (3 + 1) \cdot 2^{z_{1}} = 3^{d_{1}} \cdot 4 \cdot 2^{z_{1}} \\ = 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1} + 2} \end{matrix}$

UR 3: Es liegen zwei Steine übereinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 | z1 + 1) = (d1 + 1 | z1 )

 $\begin{matrix} 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} + 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1} + 1} & = 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} + 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} \cdot 2 \\ = 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} \cdot (1 + 2) = 3^{d_{1}} \cdot 2^{z_{1}} \cdot 3 \\ = 3^{d_{1} + 1} \cdot 2^{z_{1}} \end{matrix}$

UR 4: Es liegt ein Stein auf einem blauen Feld.

(d1 | 0 ) = (d1 - 1 | 1) + (d1 - 1 | 0 )

 $\begin{matrix} 3^{d_{1}} \cdot 2^{0} & = (3^{d_{1} - 1} \cdot 3) \cdot 2^{0} = (3^{d_{1} - 1} \cdot (2 + 1)) \cdot 2^{0} \\ = 3^{d_{1} - 1} \cdot 2^{1} + 3^{d_{1} - 1} \cdot 2^{0} \end{matrix}$

Da $3^{d_{1} - 1} \cdot 2^{0}$ bzw. (d1 - 1 | 0 ) in der Regel wieder ein Stein auf einem blauen Feld ist, muss diese Regel meist mehrfach angewendet werden.

Collatzfolgen und Schachbrett: Umwandlungsregeln

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