Mathematische Übungsbeispiele: Potenzen, Logarithmen

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...durch die Verkürzung der Rechenzeit wurde die Lebenszeit der Astronomen verdoppelt.

--Pierre-Simon Laplace über den Nutzen des Logarithmus, zitiert in H. Eves, In Mathematical Circles (1969)

Potenzen, Logarithmen

x im Exponent

Gegeben ist die Gleichung $3^{x} = 5$ . Berechne $x$

x in der Basis

Gegeben ist die Gleichung $x^{7} = 5$ . Berechne $x$ .

x und y im Exponent

Gegeben sind die Gleichungen $2^{x} = 3^{y}$ und $5^{x + 1} = 7^{y}$ . Berechne $x$ und $y$ .

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Reiskörner auf Schachbrett

Der Legende nach wurde das Schachspiel von einem brahmanischem Weisen in Indien erfunden. Dem König gefiel das Spiel und er wollte ihn belohnen. Als der Weise ein Reiskorn für das erste Feld, zwei Reiskörner für das zweite, vier für das dritte, und so weiter für jedes der 64 Felder jeweils das Doppelte haben wollte, erschien das dem König ein bescheidener Wunsch. Wie viel Stellen hat die Zahl aller Reiskörner, die der König liefern sollte? Wie lauten ihre ersten vier Stellen?

Bakterien

Eine Bakterienkultur in einem Reagenzglas verdoppelt sich alle 16 Minuten. Wie viele Stunden sind ungefähr vergangen, wenn beginnend mit 4 Bakterien nun 16000 vorhanden sind?