Collatzfolgen und Schachbrett: Dritter Schritt

5.3 Vorüberlegungen zum Spiel (Dritter Schritt)

Vorüberlegungen zum Spiel (Dritter Schritt) 5.31 M-Schritt 5.32 D-Schritt

Wie wirken sich nun der M-Schritt und der D-Schritt auf eine solche als Summe von Janus-Zahlen dargestellte ungerade Collatz-Zahl $c_0$ aus?

$c_0=\sum _i{j}_i+1=\sum _i{3}^{d_i}\cdot 2^{z_i}+1,$

wobei i, n natürliche Zahlen sind und j eine echte Janus-Zahl ist.

5.31 M-Schritt

M-Schritt (beginnend mit $c_0$):

$\begin{array}{cc}{c}_1& =3\cdot c_0+1=3\cdot (\sum _i{j}_i+1)+1\\ & =3\cdot (\sum _i{3}^{d_i}\cdot 2^{z_i}+1)+1\\ & =(\sum _{i}3\cdot 3^{d_i}\cdot 2^{z_i}+3\cdot 1)+1\\ & =(\sum _i{3}^{d_i+1}\cdot 2^{z_i}+3)+1=\sum _i{3}^{d_i+1}\cdot 2^{z_i}+4\end{array}$

Das bedeutet aber, dass jeder Summand der Summe durch die rechts daneben stehende Zahl im Collatz-Schema oder auf dem Schachbrett ersetzt wird. Außerdem wird die 1 (auf dem dunkelgrauen Feld) ergänzt.

5.32 D-Schritt

D-Schritt (beginnend mit $c_1$):

$\begin{array}{cc}{c}_2& =\frac{\sum _i{3}^{d_i+1}\cdot 2^{z_i}+4}{2}\\ & =\frac{\sum _i{3}^{d_i+1}\cdot 2^{z_i}}{2}+2\\ & =\sum _i{3}^{d_i+1}\cdot 2^{z_i-1}+2\end{array}$

Das bedeutet aber, dass jeder Summand der Summe durch die darunter stehende Zahl im Collatz-Schema oder auf dem Collatzbrett ersetzt wird.