Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche

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Reguläre Kettenbrüche

Ein regulärer Kettenbruch hat die Form

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots }}}$,

wobei $a_0\in \mathbb{Z}$ ist und $a_1,a_2,a_3,...\in {\mathbb{Z}}^{>0}$ sind. Man kürzt ihn mit $[a_0,a_1,a_2,a_3,...]$ ab.

Negativer Wert

$-[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\dots ]=\{\begin{array}{ccc}[-(a_0+1),a_2+1,a_3,a_4,a_5,\dots ]& ,& a_1=1\\ \\ [-(a_0+1),1,a_1-1,a_2,a_3,a_4,\dots ]& ,& a_1>1\end{array}$

Kehrwert

${[a_0,a_1,a_2,...]}^{-1}=\{\begin{array}{ccc}[0,a_0,a_1,...]& ,& a_0>0\\ \\ [a_1,a_2,a_3...]& ,& a_0=0\end{array}$

Goldener Schnitt

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\left[\bar{1}\right]$

Eulersche Zahl

$e={[2,\overline{1,2k,1}]}_{k\ge 1}$

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$e^{1/n}={\left[\overline{1,(2k-1)n-1,1}\right]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>1}$

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$e^2={[7,\overline{3k-1,1,1,3k,6(2k+1)}]}_{k\ge 1}$

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$e^{2/n}={\left[\overline{1,\frac{(6k-5)n-1}{2},6(2k-1)n,\frac{(6k-1)n-1}{2},1}\right]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>1}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}$

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$\frac{e-1}{2}={[0,1,\overline{4k+2}]}_{k\ge 1}$

$\frac{1}{\sqrt{e}-1}={\left[\overline{4k+1,1,1}\right]}_{k\ge 0}$

$\frac{1}{\sqrt{e}+1}={[0,2,\overline{4k+1,1,1}]}_{k\ge 0}$

(Ko)tangens (Hyperbolicus)

$\tan (1)={\left[\overline{1,2k-1}\right]}_{k\ge 1},\cot (1)={[0,\overline{1,2k-1}]}_{k\ge 1}$

$\cot \left(\frac{1}{n}\right)={[n-1,\overline{1,(2k+1)n-2}]}_{k\ge 1},\tan \left(\frac{1}{n}\right)={[0,n-1,\overline{1,(2k+1)n-2}]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>1}$

$\coth \left(\frac{1}{n}\right)={\left[\overline{(2k-1)n}\right]}_{k\ge 1},\tanh \left(\frac{1}{n}\right)={[0,\overline{(2k-1)n}]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

$\sqrt{n}\tan \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)={\left[\overline{1,(4k-1)n-2,1,4k-1}\right]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

$\sqrt{n}\cot \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)={[n-1,\overline{1,4k-3,1,(4k+1)n-2}]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

$\sqrt{n}\tanh \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)={[0,\overline{4k-3,(4k-1)n}]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

$\sqrt{n}\coth \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)={\left[\overline{(4k-3)n,4k-1}\right]}_{k\ge 1}n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

Quadratwurzeln

$\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$

$\sqrt{3}=[1,\overline{1,2}]$

$\sqrt{4}=\left[2\right]$

$\sqrt{5}=[2,\bar{4}]$

$\sqrt{6}=[2,\overline{2,4}]$

$\sqrt{7}=[2,\overline{1,1,1,4}]$

$\sqrt{8}=[2,\overline{1,4}]$

$\sqrt{9}=\left[3\right]$

$\sqrt{10}=[3,\bar{6}]$

Ist $d\in {\mathbb{Z}}^{>0}$ kein Quadrat, so lässt sich $\sqrt{d}$ schreiben in der Form $[a_0,\overline{a_1,...,a_n,2a_0}]$

Familien von Kettenbrüchen

Zum Beispiel

$\sqrt{a^2+1}=[a,\overline{2a}]$

$\sqrt{a^2+2}=[a,\overline{a,2a}]$

$\sqrt{a^2+a}=[a,\overline{2,2a}]$

$\sqrt{a^2+2a}=[a,\overline{1,2a}]$

$\sqrt{9a^2+3}=[3a,\overline{2a,6a}]$

Eine ausführlichere Einteilung stellen die Bernstein Familien und die Levesque-Rhin Familien dar.

Allgemeine Aussagen über reguläre Kettenbrüche

• Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann irrational, wenn er nicht abbricht.
• Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn er die Form $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ besitzt, wobei $a\in \mathbb{Z},b,c,d\in {\mathbb{Z}}^{\ne 0}$ ist und $c$ keine Quadratzahl ist.

Satz von Galois

Sind $a_0,...,a_n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$, dann lässt sich der reinperiodische Kettenbruch $\alpha =[\overline{a_0,...,a_n}]$ schreiben in der Form $\frac{P+\sqrt{D}}{Q}$,

wobei $P,Q,D\in {\mathbb{Z}}^{>0}$ sind und $D$ keine Quadratzahl ist.

Ist $\beta =[\overline{a_n,...,a_0}]$ der zu $\alpha$ inverse Kettenbruch, so stimmt $\frac{-1}{\beta }$ mit der Wurzelkonjugierten $\frac{P-\sqrt{D}}{Q}$ überein.

Verallgemeinerte Kettenbrüche

Eine mögliche Verallgemeinerung ist es Kettenbrüche der Form

$b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\cdots }}}$

zu betrachten, wobei $b_0\in \mathbb{Z}$ ist und wobei $b_1,b_2,...$ und $a_1,a_2...$ positive ganze Zahlen sind. Genauso könnte man für $b_0,b_1,b_2,...$ und $a_1,a_2,a_3,...$ auch reelle oder komplexe Zahlen zulassen. Ein verallgemeinerter Kettenbruch lässt sich nach Pringsheim abkürzend mit $b_0+\frac{a_1|}{|b_1}+\frac{a_2|}{|b_2}+\frac{a_3|}{|b_3}+...$ und nach Gauß abkürzend mit $b_0+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{a_k}{b_k}$ notieren.

Formel von Bombelli

Ist $\sqrt{z}=x+y$, so gilt $z=x^2+2xy+y^2\Rightarrow \frac{z-x^2}{2x+y}=y\Rightarrow y=\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{z-x^2}{2x}\Rightarrow \sqrt{z}=x+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{z-x^2}{2x}$

Eulersche Zahl

$e=2+\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k}{k}=2+\frac{2|}{|2}+\frac{3|}{|3}+\frac{4|}{|4}+...$

$e=2+\frac{1|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k}{k+1}=2+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|2}+\frac{2|}{|3}+\frac{3|}{|4}+...$

$\frac{1}{\sqrt{e}-1}=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{2k}{2k+1}=1+\frac{2|}{|3}+\frac{4|}{|5}+...$

Kreiszahl $\pi$

$\frac{\pi }{2}=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{1}{\frac{1}{k}}=1+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|\frac{1}{2}}+\frac{1|}{|\frac{1}{3}}+...$

$\frac{4}{\pi }=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k^2}{2k+1}=1+\frac{1|}{|3}+\frac{4|}{|5}+\frac{9|}{|7}+...$

$\pi =3+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(2k-1{)}^2}{6}=3+\frac{1|}{|6}+\frac{9|}{|6}+\frac{25|}{|6}+...$

Formel von Brouncker

$\frac{4}{\pi }=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(2k-1{)}^2}{2}=1+\frac{1|}{|2}+\frac{9|}{|2}+\frac{25|}{|2}+...$

$\frac{2}{\pi }=1-\frac{1|}{|2}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k(k+1)}{1}=1-\frac{1|}{|2}+\frac{1\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 4|}{|1}+\frac{4\cdot 5|}{|1}+...$

$\frac{\pi }{2}=1-\frac{1|}{|3}-\frac{2\cdot 3|}{|1}-\frac{2\cdot 1|}{|3}-\frac{4\cdot 5|}{|1}-\frac{4\cdot 3|}{|3}-\frac{6\cdot 7|}{|1}-\frac{6\cdot 5|}{|3}+...$

$\frac{12}{{\pi }^2}=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k^4}{2k+1}=1+\frac{1|}{|3}+\frac{16|}{|5}+\frac{81|}{|7}+...$

$\frac{6}{{\pi }^2-6}=1+\frac{1\cdot 1|}{|1}+\frac{1\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 4|}{|1}...$

Catalansche Konstante

$\frac{1}{2K-1}=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 1|}{|\frac{1}{2}}+\frac{1\cdot 2|}{|\frac{1}{2}}+\frac{2\cdot 2|}{|\frac{1}{2}}+\frac{2\cdot 3|}{|\frac{1}{2}}+\frac{3\cdot 3|}{|\frac{1}{2}}+\frac{3\cdot 4|}{|\frac{1}{2}}...$

Exponentialfunktion

$e^z=1+\frac{z|}{|1}+\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{-\frac{z}{k}}{1+\frac{z}{k}}=1+\frac{z|}{|1}-\frac{\frac{z}{2}|}{|1+\frac{z}{2}}-\frac{\frac{z}{3}|}{|1+\frac{z}{3}}-\frac{\frac{z}{4}|}{|1+\frac{z}{4}}-...$

Sinus (Hyperbolicus)

$\sin z=\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|2\cdot 3-z^2}+\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(2k-2)(2k-1)z^2}{2k(2k+1)-z^2}=\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|2\cdot 3-z^2}+\frac{2\cdot 3z^2|}{|4\cdot 5-z^2}+\frac{4\cdot 5z^2|}{|6\cdot 7-z^2}+...$

$\sinh z=\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|2\cdot 3-z^2}+\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{-(2k-2)(2k-1)z^2}{2k(2k+1)+z^2}=\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|2\cdot 3+z^2}-\frac{2\cdot 3z^2|}{|4\cdot 5+z^2}-\frac{4\cdot 5z^2|}{|6\cdot 7+z^2}-...$

Tangens (Hyperbolicus)

$\begin{array}{c}\tanh \\ \tan \end{array}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{x|}{|y}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{\pm x^2}{(2k+1)y}=\frac{x|}{|y}\pm \frac{x^2|}{|3y}\pm \frac{x^2|}{|5y}+...$

$\begin{array}{c}\tanh \\ \tan \end{array}\left(\frac{\pi z}{4}\right)=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(2k-1{)}^2\pm z^2}{2}=\frac{z|}{|1}+\frac{1^2\pm z^2|}{|2}+\frac{3^2\pm z^2|}{|2}+\frac{5^2\pm z^2|}{|2}+...$

$\begin{array}{c}\tanh \\ \tan \end{array}\left(nz\right)=\frac{n\tan (z)|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{n-1}{K}}\frac{(k^2\pm n^2){\tan }^2(z)}{2k+1}$

$\begin{array}{c}\tanh \\ \tan \end{array}\left(\alpha z\right)=\frac{\alpha \tan (z)|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(k^2\pm {\alpha }^2){\tan }^2(z)}{2k+1}$

Kotangens Hyperbolicus

$z\coth \left(\frac{z}{2}\right)=2+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{z^2}{4k+2}=2+\frac{z^2|}{|6}+\frac{z^2|}{|10}+\frac{z^2|}{|14}+...$

$z\coth z=1+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{z^2|}{|2k+1}=1+\frac{z^2|}{|3}+\frac{z^2|}{|5}+\frac{z^2|}{|7}+...$

Arkussinus und Areasinus Hyperbolicus

$\text{arsinh}z=\frac{z\sqrt{1+z^2}|}{|1}+\frac{1\cdot 2z^2|}{|3}+\frac{1\cdot 2z^2|}{|5}+\frac{3\cdot 4z^2|}{|7}+\frac{3\cdot 4z^2|}{|9}+\frac{5\cdot 6z^2|}{|11}+\frac{5\cdot 6z^2|}{|13}+...$

$\arcsin z=\frac{z\sqrt{1-z^2}|}{|1}-\frac{1\cdot 2z^2|}{|3}-\frac{1\cdot 2z^2|}{|5}-\frac{3\cdot 4z^2|}{|7}-\frac{3\cdot 4z^2|}{|9}-\frac{5\cdot 6z^2|}{|11}-\frac{5\cdot 6z^2|}{|13}-...$

Arkustangens und Areatangens Hyperbolicus

$\arctan z=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k^2{z}^2}{2k+1}=\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|3}+\frac{4z^2|}{|5}+\frac{9z^2|}{|7}+...$

$\text{artanh}z=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{-k^2{z}^2}{2k+1}=\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|3}-\frac{4z^2|}{|5}-\frac{9z^2|}{|7}-...$

$\begin{array}{c}\arctan \\ \mathrm{artanh}\end{array}(z)=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{\pm (2k-1{)}^2{z}^2}{2k+1\mp (2k-1)z^2}=\frac{z|}{|1}\pm \frac{z^2|}{|3\mp z^2}\pm \frac{9z^2|}{|5\mp 3z^2}\pm \frac{25z^2|}{|7\mp 5z^2}\pm ...$

$\mathrm{artanh}(z)=\pm \frac{i\pi }{2}+\frac{1|}{|z}+\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{-\frac{k-1}{k}}{\frac{2k-1}{k}z}=\pm \frac{i\pi }{2}+\frac{1|}{|z}-\frac{\frac{1}{2}|}{|\frac{3}{2}z}-\frac{\frac{2}{3}|}{|\frac{5}{3}z}-\frac{\frac{3}{4}|}{|\frac{7}{4}z}-...\begin{array}{c}\text{Im}(z)>0\\ \text{Im}(z)<0\end{array}$

$e^{2\mu \arctan \left(\frac{1}{z}\right)}=1+\frac{2\mu |}{|z-\mu }+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{{\mu }^2+k^2}{(2k+1)z}=1+\frac{2\mu |}{|z-\mu }+\frac{{\mu }^2+1|}{|3z}+\frac{{\mu }^2+4|}{|5z}+\frac{{\mu }^2+9|}{|7z}+...$

Logarithmus

$\log (1+z)=\frac{z|}{|1}+\frac{1^{2}z|}{|2}+\frac{1^{2}z|}{|3}+\frac{2^{2}z|}{|4}+\frac{2^{2}z|}{|5}+\frac{3^{2}z|}{|6}+\frac{3^{2}z|}{|7}+\frac{4^{2}z|}{|8}+\frac{4^{2}z|}{|9}+...$

$\log (1+z)=\frac{1|}{|\frac{1}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{1}}+\frac{1|}{|\frac{3}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{2}}+\frac{1|}{|\frac{5}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{3}}+\frac{1|}{|\frac{7}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{4}}+\frac{1|}{|\frac{9}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{5}}+...$

$\log (1+z)=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{k^{2}z}{k+1-kz}=\frac{z|}{|1}+\frac{z|}{|2-z}+\frac{4z|}{|3-2z}+\frac{9z|}{|4-3z}+\frac{16z|}{|5-4z}+...$

Fehlerfunktion

$\mathrm{erf}(z)=\pm 1-\frac{\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}|}{|z}+\frac{1|}{|2z}+\frac{2|}{|z}+\frac{3|}{|2z}+\frac{4|}{|z}+\frac{5|}{|2z}+\frac{6|}{|z}+\frac{7|}{|2z}+\frac{8|}{|z}+...\begin{array}{c}\mathrm{Re}(z)>0\\ \mathrm{Re}(z)<0\end{array}$

$\mathrm{erf}(z)=\frac{\frac{z}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}|}{|\frac{1}{2}}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(-1{)}^k\frac{k}{2}{z}^2}{\frac{2k+1}{2}}=\frac{\frac{z}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}|}{|\frac{1}{2}}-\frac{\frac{1}{2}{z}^2|}{|\frac{3}{2}}+\frac{\frac{2}{2}{z}^2|}{|\frac{5}{2}}-\frac{\frac{3}{2}{z}^2|}{|\frac{7}{2}}+\frac{\frac{4}{2}{z}^2|}{|\frac{9}{2}}-\frac{\frac{5}{2}{z}^2|}{|\frac{11}{2}}+\frac{\frac{6}{2}{z}^2|}{|\frac{13}{2}}-...$

Gammafunktion

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z+\alpha +1}{4}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z-\alpha +1}{4}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z+\alpha +3}{4}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z-\alpha +3}{4}\right)}=\frac{4|}{|z}+\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{(2k-1{)}^2-{\alpha }^2}{2z}=\frac{4|}{|z}+\frac{1^2-{\alpha }^2|}{|2z}+\frac{3^2-{\alpha }^2|}{|2z}+\frac{5^2-{\alpha }^2|}{|2z}+\frac{7^2-{\alpha }^2|}{|2z}+...$

Besselfunktion

$\frac{\text{BesselI}(1+\frac{a}{d},\frac{2x}{d})}{\text{BesselI}(\frac{a}{d},\frac{2x}{d})}\cdot x=\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{x^2}{a+kd}$

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Ramanujan-Kettenbrüche

$(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{5}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /5}=\underset{k=0}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{e^{-2k\pi }}{1}=\frac{1|}{|1}+\frac{e^{-2\pi }|}{|1}+\frac{e^{-4\pi }|}{|1}+\frac{e^{-6\pi }|}{|1}+\frac{e^{-8\pi }|}{|1}+...$

$(\frac{\sqrt{5}}{1+\sqrt[5]{{\sqrt[4]{5}}^3\cdot {\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}^5-1}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /\sqrt{5}}=\underset{k=0}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{K}}\frac{e^{-2k\pi \sqrt{5}}}{1}=\frac{1|}{|1}+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-8\pi \sqrt{5}}|}{|1}+...$

$\sqrt{\frac{\pi e^x}{2x}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!(2x{)}^k}{(2k+1)!}+\frac{1|}{|x}+\frac{1|}{|1}+\frac{2|}{|x}+\frac{3|}{|1}+\frac{4|}{|x}+\frac{5|}{|1}+\frac{6|}{|x}+...$