MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-E

Gegeben ist eine Ebene in Hesse'scher Normalenform

$E:\overrightarrow{x}\cdot {\overrightarrow{n}}_e-d=0$ und ein Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+t\cdot {\overrightarrow{n}}_e(t\in ℝ)$ ist die Lotgerade vom Punkt P auf die Ebene E (denn sie durchstößt E senkrecht und verläuft durch P).

Sei $\overrightarrow{l}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+t_l\cdot {\overrightarrow{n}}_e$ (*) der Ortsvektor des Lotfußpunktes L.

Dann ist der Abstand $d(P,E)=d(P,L)=\left|\overrightarrow{PL}\right|=|t_l\cdot {\overrightarrow{n}}_e|=\left|t_l\right|$

Da der Lotfußpunkt auch ein Punkt der Ebene ist, muss auch gelten:

$\overrightarrow{l}\cdot {\overrightarrow{n}}_e-d=0$

Einsetzen von (*) in diese Gleichung liefert

$[\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+t_l\cdot {\overrightarrow{n}}_e]\cdot {\overrightarrow{n}}_e-d=0$

$\iff \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_e+t_l\cdot \underset{=1}{\underbrace{{\overrightarrow{n}}_e\cdot {\overrightarrow{n}}_e}}-d=0$

$\iff \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_e-d=-t_l$

$\iff \left|t_l\right|=|\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_e-d|$

Damit ergibt sich allgemein: Analytische Geometrie/ Vorlage:Regel