MathGymOS/ LGS/ Das Einsetzungsverfahren

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{cccccc}(1)& 5\cdot x_1& +& 3\cdot x_2& =& 5\\ (2)& 3\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& =& -1\end{array}$

Durch Einsetzen eines Terms für eine Variable, soll diese eliminiert werden. Daher muss eine der Gleichungen zunächst nach dieser Variable aufgelöst werden. Exemplarisch wird hier die Gleichungen (2) nach $x_2$ aufgelöst:

$\begin{array}{ccccccccccc}(2)& 3\cdot x_1& +& x_2& =& -1& & & |& -& 3x_1\\ (2^{*})& & & x_2& =& -1& -& 3\cdot x_1\end{array}$

Dieser Term $(-1-3\cdot x_1)$ kann jetzt anstelle von $x_2$ in Gleichung (1) eingesetzt werden. (Klammersetzung beachten!)

$\begin{array}{cccccccccc}(1)& 5\cdot x_1& +& 3& \cdot & & x_2& & =& 5\\ & 5\cdot x_1& +& 3& \cdot & (-1& -& 3\cdot x_1)& =& 5\end{array}$

Auflösen der Klammern und Zusammenfassen führt zu:

$\begin{array}{ccccccc}5\cdot x_1& -& 3& -& 9\cdot x_1& =& 5\\ -4\cdot x_1& -& 3& & & =& 5\end{array}$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen $x_1$ aufgelöst:

$\begin{array}{cccccccc}-4\cdot x_1& -& 3& =& 5& |& +& 3\\ -4\cdot x_1& & & =& 8& |& :& (-4)\\ x_1& & & =& -2\end{array}$

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in die bereits aufgelösten Gleichungen (2*) erhält man den zweiten gesuchten Wert.

$\begin{array}{cccccc}(2^{*})& x_2& =& -1& -& 3x_1\\ & x_2& =& -1& +& 6\\ & x_2& =& 5\end{array}$

Die Lösungen lauten also $x_1=-2$ und $x_2=5$.