Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Dreieck

Umkreisradius

Nach Pythagoras ist

(1) $r_{i}^{2} = r_{o}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$

und

(2) $a^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(r_{o} + r_{i})}^{2}$

(2a) $\frac{3}{4} a^{2} = r_{o}^{2} + 2 r_{o} r_{i} + r_{i}^{2}$

(1) in (2a) eingesetzt ergibt

(3) $\frac{3}{4} a^{2} = r_{o}^{2} + 2 r_{o} \sqrt{r_{o}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} + r_{o}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$

(3a) $a^{2} - 2 r_{o}^{2} = 2 r_{o} \sqrt{r_{o}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$

(3a) quadriert

(4) $a^{4} - 4 a^{2} r_{o}^{2} + 4 r_{o}^{4} = 4 r_{o}^{4} - a^{2} r_{o}^{2}$

(4a) $a^{4} = 3 a^{2} r_{o}^{2}$

(4b) $r_{o}^{2} = \frac{a^{2}}{3}$

(4c) $r_{o} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ Umkreisradius

(4c) in (1) eingesetzt

(5) $r_{i}^{2} = \frac{a^{2}}{3} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{12}$

(5a) $r_{i} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ Inkreisradius

Die Division von (4c) durch (5a) zeigt

(5b) $\frac{r_{o}}{r_{i}} = 2$

(6) $h = r_{o} + r_{i} = 3 r_{i}$

und nach Pythagoras

(7) $h^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{3}{4} a^{2}$

(7a) $h = \frac{a}{2} \sqrt{3}$ Höhe

(8) $A = \frac{a h}{2}$

(7a) eingesetzt

(8a) $A = \frac{a^{2}}{4} \sqrt{3}$ Fläche

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