Mathematikunterricht/ Sek/ Stochastik/ Lotto

Lotto 6 aus 49

Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Richtige und Superzahl

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert:

P (A) =

Anzahl aller Möglichkeiten, die zu A gehören / Anzahl aller Möglichkeiten des Zufallsversuchs

Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen 6 angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten dieses zu tun ist:

(\binom{49}{6}) = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13.983.816

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen genau 6 zu ziehen ist:

(\binom{6}{6}) = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = 1

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll, lautet:

A: sechs Richtige im Lotto

Zu A gehört genau eine Möglichkeit von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist

P (A) = \frac{1}{13.983.816} \approx 0, 000.000.072

die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 6 Richtige zu haben.

Als neues Ereignis definieren wir B: 4 Richtige im Lotto.

Das bedeutet, von den 6 angekreuzten Zahlen wurden 4 gezogen, 2 der gezogenen Zahlen gehören zu den 49 – 6 = 43 Nicht-angekreuten Zahlen.

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen 4 zu ziehen ist:

(\binom{6}{4}) = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15

Die Anzahl der Möglichkeiten von den 43 Nicht-angekreuzten 2 zu ziehen ist:

(\binom{43}{2}) = \frac{43!}{2! \cdot 41!} = \frac{43 \cdot 42}{2 \cdot 1} = \frac{1806}{2} = 903

Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für 4 Richtige im Lotto:

(\binom{6}{4}) \cdot (\binom{43}{2}) = 15 \cdot 903 = 13.545

Zu B gehören also insgesamt 13.545 Möglichkeiten von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist

P (B) = \frac{13.545}{13.983.816} \approx 0, 00097

die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 4 Richtige zu haben.

Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigkeit der Multiplikation von 15 mit 903 veranschaulichen:

	1	..........	903	2 aus 43
1	ggggnn	..........	ggggnn
.	.	..........	.
.	.	..........	.
.	.	..........	.
15	ggggnn	..........	ggggnn
	4 aus 6

In einer Zeile bleiben die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) gleich, die angekreuzten Nicht-Gewinnzahlen (nn) ändern sich.

In einer Spalte bleiben die angekreuzten Nicht-Gewinnzahlen (nn) gleich, die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) ändern sich.

Als neues Ereignis definieren wir C: 5 Richtige mit Superzahl.

Nun muss noch die Superzahl, die Werte zwischen 0 und 9 annehmen kann, berücksichtigt werden.

Die Anzahl der Möglichkeiten erhöht sich damit um den Faktor

(\binom{10}{1}) = 10

.

Anzahl der Möglichkeiten für:

5 Gewinnzahlen angekreuzt (5 aus 6)

(\binom{6}{5}) = 6

1 Superzahl angekreuzt (1 aus 1)

(\binom{1}{1}) = 1

1 Nicht-Gewinnzahlen angekreuzt (1 aus 43)

(\binom{43}{1}) = 43

P (C) = \frac{(\binom{6}{5}) \cdot (\binom{1}{1}) \cdot (\binom{43}{1})}{(\binom{49}{6}) \cdot (\binom{10}{1})} = \frac{6 \cdot 1 \cdot 43}{13.983.816 \cdot 10} = \frac{258}{139.838.160} \approx 0, 000.001.84

Zusatzinformationen

In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totoblock Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften das Lottospiel. Man kann zusätzlich am Spiel Super 6 und Spiel 77 teilnehmen. Zu den 6 Zahlen wird zudem noch eine Superzahl gezogen.

Die Superzahl ergibt sich aus den Zahlen 0 bis 9, die auf dem Lottoschein bereits vorgemerkt ist. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirkung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Die Superzahl wird nach der Ziehung der Lottozahlen aus einer Extratrommel, die 10 Kugeln mit den Nummern 0 bis 9 enthält, gezogen. Sie erhöht bei allen Gewinnklassen den Gewinn um eine Stufe. Außerdem gibt es bei 2 Richtigen mit Superzahl einen festen Gewinn von 5,00 €.

Gewinnklassen

Gewinnklasse	Anzahl der Richtigen	Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp
Klasse 1	6 mit Superzahl	$\frac{(\binom{6}{6})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{13.983.816} \cdot \frac{1}{10} \approx 0, 000 000 007 15$
Klasse 2	6 ohne Superzahl	$\frac{(\binom{6}{6})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1}{13.983.816} \cdot \frac{9}{10} \approx 0, 000 000 064 4$
Klasse 3	5 mit Superzahl	$\frac{(\binom{6}{5}) \cdot (\binom{43}{1})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{1}{10} = \frac{258}{13.983.816} \cdot \frac{1}{10} \approx 0, 000 001 84$
Klasse 4	5 ohne Superzahl	$\frac{(\binom{6}{5}) \cdot (\binom{43}{1})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{9}{10} = \frac{258}{13.983.816} \cdot \frac{9}{10} \approx 0, 000 016 6$
Klasse 5	4 mit Superzahl	$\frac{(\binom{6}{4}) \cdot (\binom{43}{2})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{1}{10} = \frac{13.545}{13.983.816} \cdot \frac{1}{10} \approx 0, 000 096 9$
Klasse 6	4 ohne Superzahl	$\frac{(\binom{6}{4}) \cdot (\binom{43}{2})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{9}{10} = \frac{13.545}{13.983.816} \cdot \frac{9}{10} \approx 0, 000 872$
Klasse 7	3 mit Superzahl	$\frac{(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{43}{3})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{1}{10} = \frac{246.820}{13.983.816} \cdot \frac{1}{10} \approx 0, 001 77$
Klasse 8	3 ohne Superzahl	$\frac{(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{43}{3})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{9}{10} = \frac{246.820}{13.983.816} \cdot \frac{9}{10} \approx 0, 015 9$
Klasse 9	2 mit Superzahl	$\frac{(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{43}{4})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1.851.150}{13.983.816} \cdot \frac{1}{10} \approx 0, 013 2$
	2 ohne Superzahl	$\frac{(\binom{6}{2}) \cdot (\binom{43}{4})}{(\binom{49}{6})} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1.851.150}{13.983.816} \cdot \frac{9}{10} \approx 0, 119$
	1	$\frac{(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{43}{5})}{(\binom{49}{6})} = \frac{5.775.588}{13.983.816} \approx 0, 413$
	0	$\frac{(\binom{6}{0}) \cdot (\binom{43}{6})}{(\binom{49}{6})} = \frac{6.096.454}{13.983.816} \approx 0, 436$

Weitere Informationen - Eine Einführung in die Stochastik

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